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Realteil und Imaginärteil aus Wurzel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Imaginärteil, Komplexe Zahlen, realteil

Gamma990 aktiv_icon

18:21 Uhr, 16.03.2023

Hallo zusammen,

ich habe leider Schwierigkeiten mit dem Berechnen von Realteil und Imaginärteil folgender Zahl:

n = \sqrt{\frac{ε}{ε_{0}}} \cdot \sqrt{1 + i \cdot (\frac{σ}{ε \cdot ω})}

Dies ist eine Aufgabe mit physikalischem Zusammenhang, dieser ist jedoch nicht wichtig, ich müsste also nur wissen wie ich das Aufteilen kann in die Form

z = a + i \cdot b

um Imaginärteil und Realteil berechnen zu können.

Danke schonmal im Voraus für jede Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

18:30 Uhr, 16.03.2023

Kann man so nicht sagen.

Dürfen wir voraussetzen, dass die vier im Rechtsterm verwendeten Variablen allesamt reell und positiv sind?

Gamma990 aktiv_icon

18:36 Uhr, 16.03.2023

Oh, entschuldige, es gelten natürlich noch Bedingungen.
Alle Variablen sind größer Null und reell, man betrachte nur die positive Lösung der komplexen Wurzel.
Im Prinzip bräuchte ich die Lösung von:

z = k \cdot \sqrt{1 + i \cdot v}

mit

k, v

Element der positiven natürlichen Zahlen.

Roman-22

18:46 Uhr, 16.03.2023

Um die Wurzel zu ziehen wandelt man entweder den Radikanden in Polarform um, oder man verwendet den Ansatz

\sqrt{.} .

= a + i \cdot b,

quadriert beidseits und vergleicht beidseits Real und Imaginärteile um ein Gleichungssystem für a und

b

zu erhalten.

Der erste Weg ergibt, dass

n

den Betrag

r = \sqrt{1 + \frac{σ^{2}}{ε^{2} \cdot ω^{2}}}

und die Phase

φ = a r c t a n \frac{σ}{ε \cdot ω}

hat.
Die (Quadrat)Wurzel zieht man, indem man aus dem Betrag die Wurzel zieht und die Phase halbiert.

Somit ist

\sqrt{1 + i \cdot \frac{σ}{ε \cdot ω}} = \sqrt[4]{1 + \frac{σ^{2}}{ε^{2} \cdot ω^{2}}} \cdot (cos (\frac{φ}{2}) + i \cdot sin (\frac{φ}{2}))

Das noch mit dem Vorfaktor

\sqrt{\frac{ε}{ε_{0}}}

multipliziert und ausgerechnet liefert die Komponentendarstellung von

n,

die man natürlich noch etwas vereinfachen kann.

EDIT: Was den Winkel

φ

anlangt, so gilt hier

sin φ = \frac{σ}{\sqrt{σ^{2} + ε^{2} \cdot ω^{2}}}

und auch

cos φ = \frac{ε \cdot ω}{\sqrt{σ^{2} + ε^{2} \cdot ω^{2}}}

und mit

cos (\frac{φ}{2}) = \sqrt{\frac{1 + cos φ}{2}}

und

sin (\frac{φ}{2}) = \sqrt{\frac{1 - cos φ}{2}}

kann man das Ergebnis dann auch ohne Winkelfunktionen darstellen.
Die Formel sind so gültig, da wir aufgrund der Voraussetzungen von

0 < φ < \frac{π}{2}

ausgehen dürfen.

Wenn ich mich beim Eintippen ins CAS auf die Schnelle nicht vertan habe, sollten Real- und Imaginärteil von

n

durch den Term

\sqrt{\frac{\sqrt{σ^{2} + ε^{2} \cdot ω^{2}} \pm ε \cdot ω}{2 \cdot ε_{0} \cdot ω}}

darstellbar sein, wobei beim

\pm

das

+

für den Realteil zu nehmen ist.

rundblick aktiv_icon

19:40 Uhr, 16.03.2023

.
"Alle Variablen sind größer Null und reell
Im Prinzip bräuchte ich die Lösung von:

z = k \cdot \sqrt{1 + i \cdot v}

mit

k, v

Element der positiven natürlichen Zahlen."

kleine Anfrage zu deinen Formulierungen:

.. was nun ?

\to

sind

k

und

v \to

positive reelle .. oder nur

\to

natürliche Zahlen ?

und dazu :

"man betrachte nur die positive Lösung der komplexen Wurzel."

.. hm ? - wann ist eine

k o m p l e x e

Zahl

w = a + v \cdot i \to

positiv ?

:-)

HAL9000

15:46 Uhr, 17.03.2023

Romans Edit noch etwas näher ausgeführt:

Im Fall

y > 0

(d.h. Radikand im ersten oder zweiten Quadranten) bekommt man "trigonometriefrei" den Wurzelhauptwert

z^{*} = \sqrt{x + i y} = \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x)} + i \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)}

,

der liegt im ersten Quadranten. Die zweite Lösung der Gleichung

z^{2} = x + i y

ist dann

z = - z^{*}

im dritten Quadranten.

Im vorliegenden Fall wäre das dann

\sqrt{1 + i \cdot \frac{σ}{ε \cdot ω}} = \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{1 + {(\frac{σ}{ε \cdot ω})}^{2}} + 1)} + i \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{1 + {(\frac{σ}{ε \cdot ω})}^{2}} - 1)}

.

Für

y < 0

sowie auch

y = 0

muss man die Formel ein wenig anpassen, den Fall brauchen wir hier aber nicht.

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