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Reihe in geschlossene Form bringen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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16:01 Uhr, 27.04.2020

Hallo,
ich muss folgende Reihe in die geschlossene Form bringen:

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{3}{2} - \sum_{j = 0}^{i} {(\frac{1}{3})}^{j})

Rechts ist ja eine geometrische Reihe, deswegen kann man sie so umformen:

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{3}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1} - 1}{- \frac{3}{2}})

Wie es weiter geht weiß ich allerdings nicht; es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

17:21 Uhr, 27.04.2020

Zum einen rechnest du falsch: Im Nenner steht

\frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}

.

Vielleicht hast du das ganze gedanklich ja schon wieder nach oben "gehoben" - geschrieben hast du es jedenfalls nicht.

Was bei Korrektur dieser Rechnung entsteht, ist jedenfalls erneut eine Geometrische Reihe (diesmal komplett, d.h. nicht nur Partialsumme) über Index

i

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18:31 Uhr, 27.04.2020

Ich habe es tatsächlich in meinen Notizen richtig, jedoch hier falsch abgetippt... Könntest du mir vlt noch helfen wie ich das zu einer geometrischen Reihe umforme? Muss ich dazu den Doppelbruch zunächst auflösen?

HAL9000

18:42 Uhr, 27.04.2020

Ja, Doppelbruch auflösen:

\frac{1}{- \frac{2}{3}} = - \frac{3}{2}

.

Und dann die entstehende Klammer

- \frac{3}{2} \cdot ({(\frac{1}{3})}^{i + 1} - 1)

auflösen, und damit anschließend den ganzen Summanden von

\sum_{i = 1}^{\infty} (\dots)

vereinfachen.

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19:28 Uhr, 27.04.2020

Danke schonmal vielmals. Ich habe jetzt so vereinfacht:

\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1} + \frac{3}{2} = \sum_{i = 1}^{\infty} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1}

Ist das soweit korrekt? Weil wenn ich dann die geometrische Reihe auflöse, bekomme ich 0 heraus.

HAL9000

20:59 Uhr, 27.04.2020

Es fehlt ein Paar Klammern links in der Summe, und zwar um den gesamten Summanden - diese Klammern sind UNVERZICHTBAR.

Und rechts kommt gewiss nicht 0 heraus (es gibt überhaupt keine reine geometrische Reihe mit Wert 0), rechne das nochmal. Bzw. rechne es vor, wenn wir gemeinsam den Fehler finden sollen.

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22:13 Uhr, 27.04.2020

Meinst du so?

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1} + \frac{3}{2})

Ich habe dann folgendermaßen weitergerechnet:

\sum_{i = 1}^{\infty} (- \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1}) = \sum_{i = 0}^{\infty} (\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})

= - \frac{3}{2} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} ({(\frac{1}{3})}^{i + 1}) + \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \sum_{i = 0}^{\infty} ({(\frac{1}{3})}^{i}) + \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} ({(\frac{1}{3})}^{i}) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

HAL9000

08:58 Uhr, 29.04.2020

Da stand noch ein Minus vor dem Bruchterm der inneren geometrischen Summe, das hast du unterschlagen. Richtig ist daher zunächst

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{3}{2} + \frac{3}{2} ({(\frac{1}{3})}^{i + 1} - 1))

,

womit sich einiges ja schön vereinfacht. Aber da du in deiner Ungeduld (glaub ja nicht, alle Helfer stehen auch die Nacht über bei Fuß)

www.onlinemathe.de/forum/Summe-in-geschlossene-Form

ja hier kein Interesse mehr hast, dann mach mal ruhig dort weiter. Immerhin phänomenal, wie du mit jeder Menge falscher Umformungen und damit auch falschen Zwischenergebnissen zum richtigen Endresultat

\frac{1}{4}

kommst - ein wahrer Zauberer!

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