Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Summe in geschlossene Form

Summe in geschlossene Form

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

esc00 aktiv_icon

20:10 Uhr, 28.04.2020

Guten Abend, da meine Frage von gestern leider noch nicht beantwortet ist, allerdings keine Aufmerksamkeit mehr erlangt, versuche ich es hiermit erneut (falls nicht erlaubt, bitte ich dies zu entschuldigen).
Ich muss diese Reihe in geschlossene Form bringen:

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{3}{2} - \sum_{j = 0}^{i} {(\frac{1}{3})}^{i})

Wolfram Alpha spuckt mir folgende Formel aus:

\frac{1}{4} \cdot 3^{- m} (3^{m} - 1)

Wie kommt man darauf? Ich habe die Reihe bisher soweit umgeformt, dass da steht:

\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{i + 1}

Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie von da aus zu der expliziten Formel komme, ohne das

i

im Exponent zu verlieren, wie es passieren würde, wenn ich jetzt die Formel für geometrische Reihen anwenden würde

\frac{1}{1 - k}

.

Über Antworten wäre ich äußerst dankbar.
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

20:13 Uhr, 28.04.2020

Hallo,

warum postest du die Frage zweimal?

Gruß pivot

www.onlinemathe.de/forum/Reihe-in-geschlossene-Form-bringen

esc00 aktiv_icon

20:16 Uhr, 28.04.2020

Wie bereits erwähnt, gehe ich davon aus, dass dadurch, dass die alte Frage schon einige Antworten hat, viele davon ausgehen, dass sie bereits beantwortet ist. Deswegen habe ich eine neue Frage gestellt. Falls das nicht erlaubt ist, bitte löschen.

pivot aktiv_icon

20:24 Uhr, 28.04.2020

Ich will, kann und darf das nicht entscheiden. Mal schauen was als Rückmeldung kommt. Sorry, dass ich dein Eingangsstatement überlesen habe.

abakus

21:44 Uhr, 28.04.2020

Das ist sogar ein forenübergreifender Doppelpost:
www.mathelounge.de/717286/reihe-in-geschlossene-form-bringen?show=717291#a717291

esc00 aktiv_icon

21:47 Uhr, 28.04.2020

In der Tat. Ich bitte um Verständnis, da ich mir einfach zusätzlich Hilfe holen wollte, da ich davon ausgegangen bin, dass hier keiner mehr antwortet.
Es tut mir aufrichtig leid.

anonymous

08:09 Uhr, 29.04.2020

Auf jeden Fall ist die Aufgabe hier verwirrend beschrieben.
Du hast jetzt ein abschließendes

. .

{()}^{i}

und das macht keinen Sinn.
Ich habe mal in der Parallel-Aufgabenstellung nachgeschaut,
da steht noch ein

. .

{()}^{j}

und das macht schon mehr Sinn und Anspruch.

Auf jeden Fall solltest du, wenn du Größen einführst auch erklären, was sie bedeuten.
Was soll dieses "m" aus Wolfram Alpha sein? Ist das eine Naturkonstante?

esc00 aktiv_icon

09:36 Uhr, 29.04.2020

Ich habe mich tatsächlich verschrieben in der Fragestellung (kann man das ändern?)
Es muss natürlich heißen:

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{3}{2} - \sum_{j = 0}^{i} {(\frac{1}{3})}^{j})

Das mit Wolfram verstehen ich auch nicht, er verändert zunächst die Summe von 1 bis

\infty

zu 1 bis

m

(darf man das?), und gibt dann die Formel

\frac{1}{4} \cdot 3^{- m} (3^{m} - 1)

aus. Wenn man die ersten paar Partialsummen einsetzt scheint diese auch zu stimmen.

anonymous

10:10 Uhr, 29.04.2020

Na ja, offensichtlich:

\frac{1}{4} \cdot 3^{- m} \cdot (3^{m} - 1) = \frac{1 - \frac{1}{3^{m}}}{4}

"...er verändert zunächst die Summe von 1 bis

\infty

zu 1 bis

m

(darf man das?)"
Man muss sich eben klar machen und klar stellen, dass das zwei Schritte sind.
Der erste Schritt dürfte die allgemeine Herleitung einer begrenzten Summe sein,
der zweite Schritt ist dann der Grenzübergang, wenn man die obere Grenze der Summe

m

über alle Grenzen ins Unendliche führt.

Dann gälte natürlich:

lim_{m \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{3^{m}}}{4} = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}

Wenn dir (uns) also der erste Schritt gelänge, dann hätten wir es im zweiten Schritt nicht mehr schwer, den Grenzwert = Summenwert

\frac{1}{4}

herauszustellen, (ohne ein verwirrend unerklärtes "m").

anonymous

10:34 Uhr, 29.04.2020

Wenn ich mal in meinen Worten anbieten darf...

Wenden wir uns erst mal dem inneren Ausdruck zu, das ist ja offensichtlich die klassische geometrische Reihe:

\sum_{j = 0}^{i} {(\frac{1}{3})}^{j} = \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{i + 1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i}}{\frac{2}{3}}

= \frac{\frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^{i}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3 - \frac{1}{3^{i}}}{2}

So jetzt fällt es leichter, uns dem Gesamt-Ausdruck zu widmen:

\sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{3}{2} - \sum_{j = 0}^{i} {(\frac{1}{3})}^{j}] = \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{3}{2} - \frac{3 - \frac{1}{3^{i}}}{2}]

= \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} [3 - 3 + \frac{1}{3^{i}}] = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{i}} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{i}

Und das wiederum ist die klassische geometrische Reihe, die ich kaum wage, hier noch bis zu Ende zu kauen.
Das wenigstens könntest du selbst hin bekommen.

Du siehst, manchmal ist es besser, sich einmal klar auszudrücken und systematisch vorzugehen, als in mehreren Foren mehrere Halbwahrheiten zu verbreiten...

esc00 aktiv_icon

10:54 Uhr, 29.04.2020

Herzlichen Dank für deine Mühe! Wenn ich von da weiterrechne komme ich zu folgendem Ergebnis:

\frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{i} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Das scheint offensichtlich richtig zu sein. Dennoch suche ich eine Form, in die ich in eine Variable den Index einsetzen kann und daraus dann bis zu diesem Index die Partialsummen erhalte. Also kurz gesagt die Formel von Wolfram Alpha. Mich würde jetzt halt interessieren, wie ich von dem Zwischenergebnis

\frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{i}

zu der besagten Formel komme.

anonymous

11:05 Uhr, 29.04.2020

Junge, versuch dich doch mal verständlich auszudrücken.
Aus dem Kauderwelsch kann man höchstens vermuten, was du willst.
Eigentlich sind wir hier in Mathe.
Eigentlich nutzt man da eine Sprache wie:

\sum_{i = 1}^{n} [\frac{3}{2} - \sum_{j = 0}^{i} {(\frac{1}{3})}^{j}]

Ist es das, was du meinst?
Und ist

' n'

die Variable, die du meinst?

Falls ja, dann sollte es dir ja jetzt nicht mehr schwer fallen, dir selbst die Antwort zu geben...

esc00 aktiv_icon

11:10 Uhr, 29.04.2020

Ja, das meine ich.
Ich bin halt auf dem Gebiet noch nicht wirklich bewandert und mir fehlt es an Erfahrung...
Dann werde ich wohl einfach selbst mein Glück probieren, auch wenn das geringe Aussichten auf Erfolg hat.

anonymous

11:52 Uhr, 29.04.2020

"...auch wenn das geringe Aussichten auf Erfolg hat."
Du wirfst die Flinte ins Korn, eh der Tag begonnen hat.
Es fehlt dir nur der nötige Überblick.

Es ändert sich doch nur der letzte Schritt, den du selbst ausgeführt hast, und sinngemäß schon hier auf dieser Seite steht...

Alles, alles, alles bleibt doch prinzipiell gleich, nur dass die Summe eben nicht bis Unendlich sondern nur bis

n

geht:

... ... ... . = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{3})}^{i} = . .

esc00 aktiv_icon

12:01 Uhr, 29.04.2020

Danke für deine Geduld; meine "geringen Aussichten auf Erfolg" haben sich doch als Erfolg erwiesen. Ich habe es jetzt doch geschafft

\frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{3})}^{i}

\frac{1 - \frac{1}{3^{n}}}{4}

umzuformen.
Danke für die Hilfe und entschuldigt bitte meine Doppelposts, die durch meine Ungeduld entstanden sind.
LG

1500548

1500508

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?