Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Reihe mit Kosinus und Sinus

Reihe mit Kosinus und Sinus

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Konvergenz, Majorantenkriterium????, reih

keinMathebitte aktiv_icon

18:21 Uhr, 24.01.2024

Hallöchen, und brauche ich Hilfe bei folgender Aufgabe. Es soll die folgende Reihe auf Konvergenz geprüft werden:

(\sum_{k = 1}^{n} \frac{cos (2 k) + 4 \cdot sin (k) + 3}{4^{k} \cdot 4^{1}}) n \in ℕ

.
Folgender Ansatz: Majorantenkriterium. Da

sin (x)

und

cos (x)

zwischen

- 1

und 1 "pendeln" habe ich für diese 1 eingesetzt:

\frac{1 + 4 \cdot 1 + 3}{4^{k} \cdot 4^{1}} = \frac{8}{4^{k} \cdot 1}

. Nur habe ich keine Ahnung, was aus dem Nenner werden soll. Kann ich diesen einfach stehenlassen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

18:23 Uhr, 24.01.2024

Deine Majorante ist eine konvergente geometrische Reihe - was willst du mehr?

Vielleicht den Reihenwert? Der ist gleich

\frac{4 - \cos (2)}{17 - 8 \cos (2)} + \frac{4 \sin (1)}{17 - 8 \cos (1)} \approx 0, 48273

keinMathebitte aktiv_icon

20:56 Uhr, 24.01.2024

\frac{8}{4^{k}}

wäre dann meine Folge, also

b_{k}

. Die 4 lass ich wegfallen, da ja der Bruch größer wird, wenn der Nenner kleiner wird. Dann wäre meine Folge

({(\frac{1}{4})}^{k} \cdot 8)

und diese konvergiert dann. Somit konvergiert

a_{k}

auch und die ursprüngliche Reihe? Stimmt das? Oder muss ich den Grenzwert der Folge

b_{k}

noch bestimmen?

HAL9000

21:59 Uhr, 24.01.2024

Zunächst mal hast du oben noch einen Fehler, der allerdings nicht kriegsentscheidend ist:

∣ \frac{\cos (2 k) + 4 \sin (k) + 3}{4^{k} \cdot 4^{1}} ∣ \leq \frac{∣ \cos (2 k) ∣ + 4 ∣ \sin (k) ∣ + 3}{4^{k} \cdot 4} \leq \frac{1 + 4 + 3}{4^{k} \cdot 4} = \frac{2}{4^{k}} = 2 \cdot {(\frac{1}{4})}^{k}

.

Und dann bei der Majorisierung geht es nicht um die Konvergenz dieser Folge, sondern um die der Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} 2 \cdot {(\frac{1}{4})}^{k}

,

und das ist (wie oben schon erwähnt) eine geometrische Reihe, welche wegen

0 < \frac{1}{4} < 1

konvergiert.

keinMathebitte aktiv_icon

12:19 Uhr, 25.01.2024

Danke für deine Hilfe.

1581599

1581576

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?