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Rekonstruktion einer gebrochen Rationalen Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Rekonstruktion von Funktionen

mrbrown aktiv_icon

12:19 Uhr, 06.11.2009

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich einer Klausur-Übungsaufgabe:

Geben Sie begründend mögliche Funktionsgleichungen gebrochen raitionaler Funktionen an, für die die folgenden Bedingungen zutreffen!

(L =

Loch;

N =

Nullstelle, As = Asymptote, VZW = Vorzeichenwechsel)

a)

L(-n/?);

N (\frac{1,5}{0});

As:

y = 0;

Pol bei

x = 2

mit VZW

Ich hoffe wenn ihr mir die a erklären könnt, kann ich die restlichen Aufgaben selbsstänig lösen. Mein Problem ist ganz einfach dass ich absolut keine Ahnung habe wie ich diese Aufgabe anfangen soll.
Ich würde mich sehr freuen wenn ich da Hilfe bekommen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

12:44 Uhr, 06.11.2009

Hallo,

fangen wir mit dem einfachsten an:

Seien

p_{Z}

das Zählerpolynom und

p_{N}

das Nennerpolynom

Asymptote (gegen

- \infty

und

+ \infty

nehme ich an):

y = 0 \Rightarrow

Grad(p_Z)

<

Grad(p_N)

Nullstellen von

p_{Z} : 1,5

und

- n;

letzteres wegen der Lücke (Vielfachheit in

p_{Z}

und

p_{N}

ist gleich!)

\Rightarrow

Grad(p_Z)

\geq 2

Nullstellen von

p_{N} : - n

und

2;

letztere mit ungerader Vielfachheit wegen VZW

\Rightarrow

Grad(p_N)

\geq 3

(weil ja immer größer als Grad(p_Z)

Ermittlung eines minimalen

p_{Z} :

Grad(p_Z)

= 2

Da die beiden Nullstellen bekannt sind, nimmt man den Ansatz:

p_{Z} = a \cdot (x - 1,5) \cdot (x + n) = a \cdot (x^{2} + (n - 1,5) \cdot x - 1,5 \cdot n) = a \cdot x^{2} + a \cdot (n - 1,5) \cdot x - 1,5 \cdot a \cdot n

Eine Lösung ist für

a = 1

gegeben:

p_{Z} = x^{2} + (n - 1,5) \cdot x - 1,5 \cdot n

Ermittlung eines minimalen

p_{N} :

Grad(p_N)

= 3

Wir haben 2 Nullstellen, die dritte sei

x_{3},

mit

x_{3} \neq - n

und

x_{3} \neq 2

p_{N} = a \cdot (x - 2) \cdot (x + n) \cdot (x - x_{3})

= a \cdot (x^{2} + (n - 2) \cdot x - 2 \cdot n) \cdot (x - x_{3})

= a \cdot (x^{3} + (n - 2) \cdot x^{2} - 2 \cdot n \cdot x - x_{3} \cdot x^{2} - (n - 2) \cdot x_{3} \cdot x + 2 \cdot n \cdot x_{3})

= a \cdot (x^{3} + (n - 2 - x_{3}) \cdot x^{2} - (n \cdot x_{3} - 2 \cdot x_{3} + 2 \cdot n) \cdot x + 2 \cdot n \cdot x_{3})

Eine Lösung ist gegeben für

a = 1

und

x_{3} = 0

p_{N} = x^{3} + (n - 2) \cdot x^{2} - 2 \cdot n \cdot x

Ergibt zusammen:

\frac{x^{2} + (n - 1,5) \cdot x - 1,5 \cdot n}{x^{3} + (n - 2) \cdot x^{2} - 2 \cdot n \cdot x}

mrbrown aktiv_icon

12:50 Uhr, 06.11.2009

Hallo,
vielen Dank für die sehr schnelle Antwort.
Leider kann ich das so alles nicht ganz nachvollziehen, könntest du das ggf. alles etwas mehr kommentieren? Wie du

z . B

. das mit den Nullstellen machst und vorallem woher der Ansatz dann für die Funktionsentwicklung mit den Nullstellen kommt. Ebenso das mit dem "Grad".

Gruß und danke schonmal

m-at-he

13:04 Uhr, 06.11.2009

Hallo,

"Wie du

z . B

. das mit den Nullstellen machst"

Dazu muß man lernen, was Nullstellen des Zähler- und des Nennerpolynoms für Wirkungen haben können:

Nullstellen von

p_{Z}

und

p_{N} :

Hier kommt es auf die Vielfachheit an.
Beide Vielfachheiten gleich

\Rightarrow

Lücke
Vielfachheit in

p_{Z}

größer

\Rightarrow

Lücke auf der x-Achse
Vielfachheit in

p_{N}

größer

\Rightarrow

Polstelle
Bei der Polstelle gilt noch:
Differenz Vielfachheit

p_{N}

minus Vielfachheit

p_{Z}

gerade

\Rightarrow

kein VZW
Differenz Vielfachheit

p_{N}

minus Vielfachheit

p_{Z}

ungerade

\Rightarrow

VZW

Nullstellen von

p_{Z},

die keine von

p_{N}

sind: Nullstellen
Nullstellen von

p_{N},

die keine von

p_{Z}

sind: Polstellen
Bei der Polstelle gilt noch:
Vielfachheit gerade

\Rightarrow

kein VZW
Vielfachheit ungerade

\Rightarrow

VZW

Grad(Asymptote) = Grad(p_Z)

+ 1 -

Grad(p_N)

wobei gilt, wenn Grad(p_N)

>

Grad(p_Z) dann Grad(Asymptote)

= 0

und Asymptote 0 bedeutet Grad(Asymptote)

= 0

. Asymptote

m,

mit

m \neq 0

heißt Grad(Asymptote)

= 1

und somit Grad(p_Z) = Grad(p_N)

Der Ansatz mit den Nullstellen ist einfach:
Wenn zwei Polynome n-ten Grades

(n + 1)

gemeinsame (und verschiedene) Punkte haben (davon können ja maximal

n

auch Nullstellen sein!), dann sind sie identisch! Ein Polynom 2-ten Grades mit

\frac{f (x_{3})}{(x_{3} - x_{1}) \cdot (x_{3} - x_{2})} \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

geht durch die 2 Nullstellen

x_{1}

und

x_{2}

(Nachweis durch Nachrechnen) und hat an der Stelle

x_{3}

den Funktionswert

f (x_{3})

(ebenfalls durch Nachrechnen). Damit ist das ein Ansatz für das gesuchte Polynom!

Mehr Kommentieren? So ins Blaue? Nein, ich bin kein Buchautor! Wenn Du irgendetwas nicht verstehst, beschreibe die Stelle, dann kann man darüber noch mal reden!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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