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Rekursionsformel Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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21:40 Uhr, 14.05.2016

Guten Tag,

meine Aufgabe ist es, eine Rekursionsformel für

R_{n} = \int 1 \cdot {(1 + x^{2})}^{n}

herzuleiten. Ich habe den Hinweis

0 = 2 n - 2 n

an einer passenden Stelle hinzuzufügen.
Bisher habe ich die Stammfunktionen bis

n = 5

ausgerechnet.
(Für die eigentliche Frage kann dieser Teil übersprungen werden)

R_{0} = x + C

R_{1} = \frac{1}{3} \cdot x^{3} + x + C

R_{2} = \frac{1}{5} \cdot x^{5} + \frac{2}{3} \cdot x^{3} + x + C

R_{3} = \frac{1}{7} \cdot x^{7} + \frac{3}{5} \cdot x^{5} + \frac{3}{3} \cdot x^{3} + x + C

R_{4} = \frac{1}{9} \cdot x^{9} + \frac{4}{7} \cdot x^{7} + \frac{6}{5} \cdot x^{5} + \frac{4}{3} \cdot x^{3} + x + C

R_{5} = \frac{1}{11} \cdot x^{11} + \frac{5}{9} \cdot x^{9} + \frac{10}{7} \cdot x^{7} + \frac{10}{5} \cdot x^{5} + \frac{5}{3} \cdot x^{3} + x + C

Hier kann man vermuten, wie man die Stammfunktionen bildet:

\to

Im Nenner der Brüche stehen die ungeraden Zahlen 1 bis

2 n + 1

\to

Im Zähler die entsprechenden Zeilen des Pascalschen Dreiecks

(\begin{matrix} n \\ n - ... \end{matrix})

\to

Die Exponenten sind gleich den Nennern

Leider ist das nicht meine Aufgabe und bringt mich nicht viel weiter.
Ich habe nun angefangen, den Term partiell zu integrieren:

f (x) = {(1 + x^{2})}^{n}

f' (x) = n \cdot {(1 + x^{2})}^{n - 1}

g' (x) = 1

g (x) = x

Damit:

\int 1 \cdot {(1 + x^{2})}^{n} = x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} - \int x \cdot n \cdot {(1 + x^{2})}^{n - 1} \cdot 2 x

= x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} - \int n \cdot {(1 + x^{2})}^{n - 1} \cdot 2 x^{2}

= x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} - n \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} \cdot 2 x^{2}

Nun haben wir in diesem Teil:

n \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} \cdot 2 x^{2}

R_{n - 1}

enthalten, jedoch stört die

2 x^{2}

.
Das nochmal partiell zu integrieren erscheint mir nicht sinnvoll, jedoch muss ich die

2 x^{2}

loswerden. Ich nehme an, dass hier der Tip verwendet werden muss (

0 = 2 n - 2 n

hinzuzufügen). Ich sehe jedoch nicht, wo/wie ich das machen soll, sodass es mir weiterhilft.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

21:45 Uhr, 14.05.2016

Das Ausrechnen mit konkreten Werten für

n

wird vermutlich wenig bringen, die partielle Integration hingegen schon.
Du hast bei

f' (x)

vergessen, die "innere Ableitung" hinzuschreiben, hast aber richtig gerechnet und bist bei

\int {(1 + x^{2})}^{n} d x = x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} - 2 n \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} \cdot x^{2} d x

gelandet.
Du hats auch richtig erkannt, dass es jetzt darum geht, das

x^{2}

loszuwerden.
Mit dem Hinweis

0 = 2 n - 2 n

fang ich ad hoc auch nicht so viel an, aber ich würde nun im Integranden

x^{2} = (1 + x^{2}) - 1

verwenden:

\int {(1 + x^{2})}^{n} d x = x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} - 2 n \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} \cdot x^{2} d x = x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} - 2 n \cdot [\int {(1 + x^{2})}^{n} d x - \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} d x]

Aufgelöst und zusammengefasst ergibt das nun

(1 + 2 n) \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n} d x = x \cdot {(1 + x^{2})}^{n} + 2 n \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} d x

Um eine Rekursionsformel zu erhalten löst du diese Gleichung für

n \geq 0

nach

\int {(1 + x^{2})}^{n} d x

auf:

\int {(1 + x^{2})}^{n} d x = \frac{x \cdot {(1 + x^{2})}^{n}}{1 + 2 n} + \frac{2 n}{1 + 2 n} \cdot \int {(1 + x^{2})}^{n - 1} d x

für

n > 0

Für

n < 0

musst du die Gleichung nach

\int {(1 + x^{2})}^{n - 1} d x

auflösen.

R

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22:42 Uhr, 14.05.2016

Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Anscheinend wird es bei mehreren Wegen nötig sein, eine produktive Null zu verwenden.
Deine Lösung ist jedoch sehr schön und verständlich, weshalb ich mich wahrscheinlich nicht zu lange mit der Lösung mit dem vorgegebenen Hinweis beschäftigen werde.
Nochmals vielen Dank

Roman-22

00:34 Uhr, 15.05.2016

Nun, im Endeffekt hatte ich die

2 n

vors Integral gezogen und dort zum

x^{2}

ein

1 - 1

dazu gegeben. Hätten wir die

2 n

im Integranden belassen, wären wir beim

2 n - 2 n

.
Vermutlich war ohnedies der gleiche Trick gemeint.

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