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Rekursionsformel Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

limes21 aktiv_icon

17:29 Uhr, 23.09.2023

Hallo, ich verstehe die Aufgabe (iii) nicht (Bild der Aufgabenstellung im Anhang).

(i)

und (ii) habe ich und die Ergebnisse stehen zur Verfügung.

Nur wie genau soll ich denn da jetzt eine explizite Formel für I_n finden?

Zum einen ist diese Rekursionsformel gegeben, zum anderen gibt es ja den Hinweis mit der Fallunterschiedung in

n

gerade und

n

ungerade. Das müsste man idealerweise zusammenbringen.

Ich komme aber auf keine Idee, würde aber vermuten, dass man wirklich bei dieser Rekursionsformel bleibt und nicht wieder das Integral hinschreibt. Wie macht man das hier?

PS: jetzt auch mit besagtem Bild

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

19:08 Uhr, 23.09.2023

Aus (ii) folgt durch wiederholte Anwendung für gerade

n

unter Nutzung des Doppelfakultät-Symbol !! ( de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Doppelfakult%C3%A4t )

I_{n} = \frac{(n - 1)!!}{n!!} \cdot I_{0}

und für ungerade

n

entsprechend

I_{n} = \frac{(n - 1)!!}{n!!} \cdot I_{1}

.

Die Anfangswerte kennst du hoffentlich:

I_{0} = π

sowie

I_{1} = 2

.

P.S.: Wenn man die Doppelfakultätsformeln dann doch mit einfachen Fakultäten schreiben will, dann helfen folgende Umformungen:

(2 k)!! = 2^{k} \cdot k!

(2 k - 1)!! = \frac{(2 k)!}{(2 k)!!} = \frac{(2 k)!}{2^{k} \cdot k!}

Randolph Esser aktiv_icon

09:10 Uhr, 24.09.2023

Als Anhang dieselben Aufgaben wie

i i)

und

i i i)

nur mit

\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos (x)}^{n} d x,

was aber nicht viel ändert.

Zu

i)

\int_{- 1}^{1} {\sqrt{1 - x^{2}}}^{n - 1} d x

= - \int_{π}^{0} {\sqrt{1 - {cos (t)}^{2}}}^{n - 1} sin (t) d t

= - \int_{π}^{0} {sin (t)}^{n} d t

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{π}^{0} {cos (t + \frac{π}{2})}^{n} d t

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

.

Falls

2 | n,

gilt

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= - \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t + π)}^{n} d t

= - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

.

Andernfalls gilt

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= {(- 1)}^{n} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t + π)}^{n} d t

= - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

Randolph Esser aktiv_icon

09:12 Uhr, 24.09.2023

Als Anhang dieselben Aufgaben wie

i i)

und

i i i)

nur mit

\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos (x)}^{n} d x,

was aber nicht viel ändert.

Zu

i)

\int_{- 1}^{1} {\sqrt{1 - x^{2}}}^{n - 1} d x

= - \int_{π}^{0} {\sqrt{1 - {cos (t)}^{2}}}^{n - 1} sin (t) d t

= - \int_{π}^{0} {sin (t)}^{n} d t

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{π}^{0} {cos (t + \frac{π}{2})}^{n} d t

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

.

Falls

2 | n,

gilt

{(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= - \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= {(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t + π)}^{n} d t

= - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

.

Andernfalls gilt

{(- 1)}^{n + 1} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= {(- 1)}^{n} \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t + π)}^{n} d t

= - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {cos (t)}^{n} d t

Randolph Esser aktiv_icon

09:16 Uhr, 24.09.2023

Oh, schön, ein Datenunfall-Doppelpost,
weil mein Händi bis Monatsende langsame Daten hat.
Meinen ersten Post bitte ignorieren.

limes21, was ist eigentlich mit Deinem Thread
"Monotonie Folge nachweisen" ?

limes21 aktiv_icon

13:14 Uhr, 01.10.2023

Perfekt, vielen Dank an euch.

@Kartoffel-Käfer: das hat sich dank euch beiden auch endlich geklärt.

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