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Repräsentantenabhängigkeit

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Tags: Ganze Zahlen, natürliche Zahlen, produkt, Repräsentanten, Sonstiges

 
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AnkaGS

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12:57 Uhr, 26.06.2013

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Hallo. Ich habe ein paar kurze Fragen zur Theorie von Multiplikation von ganzen Zahlen.

1. Was ist der Unterschied zwischen (a,b) und [(a,b)], wenn (a,b) ein Repräsentantenpärchen für eine ganze Zahl ist (z.B. a=4,b=5, dann ist a,b Repräsentant für -1) Die Frage ist nun was die zwei verschiedenen Schreibweisen aussagen.

2. Der Betrag des Produktes ganzer Zahlen verhält sich wie das Produkt entsprechender natürlicher Zahlen. Was hast diese Aussage mit der Einbettung der natürlichen in die ganzen Zahlen zu tun?
Also es ist ja ganz klar, wenn ich z.B.: die Repräsentanten a=4 und b=5 habe, dass da -1 raus kommt. (im Bereich der ganzen Zahlen) Der Betrag dieser Zahl ist natürlich 1 und somit automatisch eine natürliche Zahl. Der Betrag aller ganzen Zahlen ist eine natürliche Zahl. Dies gilt ja auch für das Produkt... wie könnte man das mathematisch "schöner" ausdrücken?

3. Es sollen "übliche" Repräsentanten positiver und negativer Zahlen ganzer Zahlen (a,0) bzw (0,c) beschrieben werden. Gesucht sind dann die Repräsentanten, die gut geeignet wären, um das Ergebnis der vier möglichen Produkte zwischen pos. und neg. Zahlen zu beschreiben. Hier stehe ich gerade ganz auf dem Schlauch was gefordert ist...
sind die "üblichen" Fälle gemeint: a positiv, a negativ, c positiv und c negativ?
Welcher der Repräsentanten ist nun für das Produkt [(a,b)]⋅[(c,d)]

4. Ich bräuchte noch einen Ansatz wie man die Repräsentantenunabhängigkeit der Addition ([(a,b)]+[(c,d)]:=[a+b,c+d]) und Multiplikation beweist..

Über ein paar Anregungen und Hinweise, würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank :-)

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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:54 Uhr, 26.06.2013

Antworten
Hallo,

ich kenne nicht alle eure Schreibweisen, so viel sei vorausgeschickt.

Wichtig ist doch folgendes: Du darfst für all das nur(!) von den natürlichen Zahlen (einschließlich Null?) ausgehen. Vermutlich ist auch die Subtraktion nicht bekannt.

Zunächst einmal betrachten wir die Menge M:=ℕ×ℕ.
Auf dieser Menge definieren wir eine Relation "≡" per: (a,b)≡(c,d)⇔a+d=c+b

Welche Eigenschaften hat "≡"?
* symmetrisch
* reflexiv
* transitiv

Der Nachweis der Transitivität geht ungefähr so:
(a,b)≡(c,d)≡(e,f), d.h. es gelten a+d=c+b und c+f=e+d, woraus a+d+c+f=c+b+e+d folgt. Subtrahieren ist schwierig, da wir aber in den natürlichen Zahlen bleiben, können wir auf beiden Seiten c und d "subtrahieren", woraus a+f=e+b folgt.

Daraus folgt, dass "≡" eine Äquivalenzrelation ist.

Man kann auf M eine Addition "⊕" definieren: (a,b)⊕(c,d):=(a+c,b+d).

Eigenschaften von "⊕":
* assoziativ
* kommutativ
* mit "≡" verträglich, d.h. gelten (a,b)≡(c,d) und (w,x)≡(y,z), dann auch (a,b)⊕(w,x)≡(c,d)⊕(y,z)

Daraus ergibt sich folgendes:
Betrachtet man alle Elemente aus M, die in Relation "≡" stehen, als gleich(!), so ergibt sich eine Struktur (M/≡,⊕) mit folgenden Eigenschaften:
* "⊕" ist auf M/≡ assoziativ und kommutativ
* es gibt (genau) ein neutrales Element 0∈M/≡ für "⊕"
* für jedes(!) Element von x∈M/≡ gibt es ein Element y∈M/≡, sodass x⊕y=0 gilt.

Man könnte auch/statt dessen schreiben, dass für alle a,b∈M/≡ die Gleichungen a⊕x=b und y⊕a=b eindeutig in M/≡ lösbar sind.

Soweit ein möglicher theoretischer Hintergrund.

Nun zu deinen Fragen: (Ja, jetzt schon.)
> Was ist der Unterschied zwischen (a,b) und [(a,b)], wenn (a,b) ein Repräsentantenpärchen für eine ganze Zahl ist (z.B.
> a=4,b=5, dann ist a,b Repräsentant für −1) Die Frage ist nun was die zwei verschiedenen Schreibweisen aussagen.

Die Schreibweise (a,b) legt ein spezielles Element in M fest. Es hat erst einmal keine große Bedeutung.
Anders ist es mit der Menge aller äquivalenten Elemente zu (a,b): [(a,b)]:={(x,y)∈M∣(a,b)≡(x,y)}
Was diesen ELemente gemein ist, ist, dass die Differenz zwischen erster und zweiter Komponente stets gleich ist.
Deshalb betrachten wir alle ja auch alle Elemente als "gleich", bei denen das so ist.

Du musst die die Situation vorstellen: -1 "gibt" es (noch) nicht. Das einzige, was die Menschheit kennt (und damit Jarhunderte gut gefahren ist), sind natürliche Zahlen (und Null). Also kennt man 1. Was aber soll -1 sein?

Durch den oben aufgeschriebenen Formalismus erhält die Zahl -1 erst eine Bedeutung. -1 ist eine Menge von Paaren der Form (n,n+1).

Erstmal dazu. Noch (viele) Unklarheiten?

Mfg Michael
AnkaGS

AnkaGS aktiv_icon

23:53 Uhr, 27.06.2013

Antworten
Hey MichaL!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort...der Anfang leuchtet mir jetzt ein... :-) Daran hatte ich gar nicht gedacht - kommt mir bekannt vor.
Den Rest muss ich noch einmal in Ruhe durchdenken ;-)
Danke!
AnkaGS

AnkaGS aktiv_icon

21:43 Uhr, 01.07.2013

Antworten
Hey!
Ich bräuchte dringend eine Lösung zu meinen Fragen 3 und 4 ...den Rest habe ich soweit nachvollziehen können.
Da ich aber kaum Zeit (und leider noch zig Sachen zu erledigen habe), wäre ich sehr verbunden, wenn mir jemand einfach eine Lösung dazu aufschreibt, sofern jemandem etwas konkretes dazu einfällt

Mathe 7
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