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Rotationskörper Anwendungsaufgabe

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis, Anwendungsaufgabe, Kelch, Rotation

anonymous

13:00 Uhr, 19.06.2016

Moin alle zusammen,

ich habe eine Anwendungsaufgabe, bei der ich aber leider kaum weiterkomme ...

,,Ein Kunstdrechsler hat den Auftrag einen Kelch herzustellen, dessen äußere Form
durch die Funktion

f (x) = \sqrt{x}

beschrieben wird, die innere durh

g (x) = 0, 25 x

."

Es gibt

a)

bis

c)

, hier ist erst einmal

a)

:

,,Erklären Sie, weshalb die minimale Dicke der Wand des Kelches

0, 75

Einheiten beträgt,
wenn der Kelch durch Rotation um die

x -

Achse von

1

bis

5

modelliert wird.

Vielen Dank für Tipps bzw. Hinweise im Voraus!! :-)

LG
NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

13:16 Uhr, 19.06.2016

f (x) = \sqrt{x}

g (x) = 0,25 \cdot x

d (x) = f (x) - g (x)

d (x) = \sqrt{x} - 0,25 \cdot x

d (1) = . .

(. .

. und überlegen, warum "minimal" )
Etwas "mathematischer":
Die Funktion

d (x) = \sqrt{x} - 0,25 \cdot x

stellt die Wandstärke dar ( gemessen senkrecht zur x-Achse )
Diese Funktion besitzt an der Stelle

x = \sqrt{2}

ein lokales Maximum ( nachrechnen

!),

aber kein lokales Minimum. Für das Minimum müssen daher die Werte an den Rändern des vorgegebenen Intervalls untersucht werden.

Roman-22

13:48 Uhr, 19.06.2016

Bei dieser Fragestellung waren die Gedanken des Aufgabenerstellers vermutlich woanders, um es höflich auszudrücken.

Die Aufgabe ist sicherlich so gemeint, wie von Respon angerissen, jedoch ist es äußerst naiv, anzunehmen, man könne die Materialstärke einfach in y-Richtung messen.
Hier wäre die Wandstärke sogar tatsächlich recht einfach anzugeben, da das Innenprofil dieses eigenartigen Kelchs eine Gerade ist und würde auch eine nette Extremwertaufgabe abgeben. Denn der Normalabstand der "Außenpunkte" zut Innenfläche wäre ein deutlich besseres und sinnvolleres Maß für etwas, das man "Dicke" oder "Wandstärke" nennen möchte. Wir gehen davon aus, dass der "Kelch" noch eine ordentliche Bodenplatte bekommt und dann stellt sich die minimale Wandstärke natürlich auch bei

x = 1

ein, allerdings mit dem Wert

\frac{3 \cdot \sqrt{17}}{17} \approx 0,728

.

Solange aber in der Angabe nicht definiert wird, wie die gewünscht Dicke zu messen sei, ist sie leider Schrott.
Hilft dir aber nichts, denn du musst als Schüler über eine funktionierende Kristallkugel verfügen die dir verrät, wie dein Lehrer die Aufgabe gemeint hat, auch wenn dieser nicht fähig war, das in seinem Angabetext klar auszudrücken.
Da das Minimum sogar mit

0,75

genannt wird, kommt im Grunde nur mehr der naive Ansatz, die "Dicke" als Differenz von

f (x)

und

g (x)

zu sehen, infrage.

R

anonymous

20:56 Uhr, 19.06.2016

Hallo Respon und Roman-22,

ich hake mal nach. :-)

1.) ,,Die Aufgabe ist sicherlich so gemeint, wie von Respon angerissen, jedoch ist es äußerst naiv, anzunehmen, man könne die Materialstärke einfach in y-Richtung messen."

Warum wäre das naiv, Roman-22? :-) Also um ehrlich zu sein, ist mir kein vernünftigerer Ansatz
als der von Respon eingefallen.

Wie könnte man sonst die Aufgabe verstehen? ;-)

2.) ,,Denn der Normalabstand der "Außenpunkte" zut Innenfläche wäre ein deutlich besseres und sinnvolleres Maß für etwas, das man "Dicke" oder "Wandstärke" nennen möchte."

Wie meinst du das?

3.) Respon hat geschrieben, dass die Funktion

d (x) = \sqrt{x} - 0, 25 x

für

x = \sqrt{2}

ein lokales Maximum besitzt. Ich komme aber auf

x = 4

?

4.) Wenn ich mal jetzt annehme, dass der Lehrer so gedacht hat, wie wir es annehmen, wie
ist dann die Aufgabe zu verstehen? Das Einzige, was wir zeigen können - wenn man interpretiert -
ist, dass bei

x = 4

ein lokales Maximum der ,,Wandstärke" vorhanden ist.
Wie soll ich jetzt aber - mathematisch gesehen - auf ein Minimum kommen (jetzt mal unabhängig,
welcher Wert in der Aufgabenstellung angegeben wird).

5.) Könntest du mir bitte erklären, Roman-22, wie du auf

\frac{3 \cdot \sqrt{17}}{17}

kommst?

6.) Mir ist aufgefallen, dass

d (1) = \sqrt{1} - 0, 25 \cdot 1 = 0, 75

Roman-22

21:39 Uhr, 19.06.2016

>

Warum wäre das naiv, Roman-22? :-)
Nehmen wir eine einfachere Aufgabe: Äußerer und innerer Bereich werden durch Rotation von Geraden erzeugt. ZB

f (x) = x

und

f (x) = x - 1,

wieder für

1 \leq x \leq 5

. Was würdest du nun als die Wandstärke des entstehenden "Martini-Glases" ansehen, die in beigefügter Zeichnung grün eingezeichnete y-Differenz (naive Dicke) oder nicht vielleicht doch den in rot eingezeichneten Abstand der beiden Geraden? Der Unterschied ist immerhin 1 im Gegensatz zu

\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7

>

Wie könnte man sonst die Aufgabe verstehen? ;-)
Nochmals, du sollst sie schon so verstehen, wie von Respon skizziert, also mit der "naiven" Dicke. Dazu passt ja auch der in der Angabe genannte Wert von

0,75

.
Mich hat bloß gestört, dass nicht angegeben ist, was der Autor unter "Dicke" gern verstanden haben möchte.
Wie man es sonst noch auffassen könnte. Nun, berechne für jeden Punkt des Außenprofils (die Parabel) seinen Normalabstand vom Innenprofil (Gerade). Von allen diesen Werten ist das Minimum zu nehmen.
Abermals: Das ist nicht das, was von dir hier erwartet wird. Wäre aber geeiegneter, als Wandstärke bezeichnet zu werden.

>

Wie meinst du das?
Wie gerade beschrieben :-)

>

Ich komme aber auf

x = 4

?
Bravo! Das ist nämlich auch richtig! Respon scheint sich da geirrt zu haben.

>

Wie soll ich jetzt aber - mathematisch gesehen - auf ein Minimum kommen
Das hat dir Respon eigentlich schon geschrieben. Wie bei jeder Extremwertsaufgabe ist doch die Vorgangsweise die Folgende:
Zielfunktion von einer Varaiblen abhängig machen (hier

x),

Ableitung Null setzen, Die Kandidaten auf Max oder Min (oder Sattelpunkt) hin überprüfen.
Soweit hat die Rechnung nur ergeben, dass wir damit kein lokales Minimum finden konnten. Der kleinste Wert im untersuchten x-Intervall

[1; 5]

muss daher (da es sich um eine stetige Funktion handelt) an einem der beiden Rändern

(x = 1

und

x = 5)

liegen.
Berechne also für beide Randwerte die "Dicke" und entscheide dann, welche von beiden kleiner und somit das gesuchte Minimum ist.

>

Könntest du mir bitte erklären, Roman-22, wie du auf 3⋅1717 kommst?
Hab ich schon erwähnt, dass das nicht von dir erwartet wird, diesen Wert zu berechnen. Ich bin so vorgegangen, wie oben beschrieben. "Dicke" ist der Abstand des Punkts auf der Parabel

(x / \sqrt{x})

von der Geraden

y = \frac{x}{4}

. Dazu einfach die HNF der Geradengleichung aufstellen

\frac{1}{\sqrt{17}} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = 0

und dann ergibt sich der Abstand mit

d (x) = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ \sqrt{x} \end{matrix}) = \frac{\sqrt{17}}{17} \cdot (- x + 4 \cdot \sqrt{x})

. Dann so verfahren wie oben und wieder stellt sich das Minimum am Rand für

x = 1

ein.
Aber wie gesagt - für dich irrelevant ;-)

> 6 .)

Mir ist aufgefallen, dass d(1)=1-0,25⋅1=0,75?
Ja, das ist ja eben die (naive :-) Dicke in einem der beiden Randwerte.

d (5) = \sqrt{5} - \frac{5}{4} \approx 0,986

ist größer und deshalb ist das Minumum im betrachteten Intervall eben bei

x = 1

R

Respon

21:40 Uhr, 19.06.2016

Natürlich ist mir ganz am Schluss ein Rechenfehler passiert

d' (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} - 0,25

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} - 0,25 = 0

\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4

Wichtig war, dass es sich um einen Wert im Intervall und um ein lokales Maximum handelt.

anonymous

07:15 Uhr, 20.06.2016

Alles klar, vielen Dank soweit!! :-)

Okay, könntet ihr mir bitte noch bei b) und c) helfen? ;-)

,,b) Wie groß wäre sein Volumen?

c) Zeigen Sie, dass man denselben Kelch erhält, wenn man

f * (x) = 1 + \sqrt{x}

und

g * (x) = 0, 25 x + 1

um die Achse

y = 1

rotieren lässt und dabei das Intervall

[1, 5]

betrachtet."

ad b):

V = π \cdot \int_{x_{1}}^{x_{2}} [f (x)]^{2} d x

V = π \cdot \int_{1}^{5} [\sqrt{x} - 0, 25 x]^{2} d x

V = π \cdot \int_{1}^{5} [0, 25 x^{2} - 2 \sqrt{x} \cdot 0, 25 x + x] d x

Ich würde gerne eine Stammfunktion von

f (x)

angeben, schaffe das aber leider
nicht vollständig.

Ich erhalte:

F (x) = \frac{0, 25 x^{3}}{3} - . . . + 0, 5 x^{2}

Beim ... weiß ich nicht, was da reinkommt. Auf jeden Fall muss, egal was ... ist, dann
nach der Produktregel abgeleitet werden.

ad c):
Soll ich erst einmal die Umkehrfunktionen von

f (x)

und

g (x)

bilden?

Gracias!! ;-)

Respon

07:26 Uhr, 20.06.2016

Wie groß ist das Volumen ?
Wir haben es hier mit zwei Funktionen zu tun.
Nicht die Differenz quadrieren, sondern die Differenz der Quadrate bilden.

Respon

08:07 Uhr, 20.06.2016

"ad

c) :

Soll ich erst einmal die Umkehrfunktionen von

f (x)

und

g (x)

bilden?"

Die Rotation erfolgt nicht um die y-Achse, sondern um die Gerade

y = 1

.

Natürlich entsteht der gleiche Körper ( siehe Grafik

),

es handelt sich ja nur um eine Verschiebung "nach oben".

willyengland aktiv_icon

09:20 Uhr, 20.06.2016

@Roman:
Interessanter Gedanke, das mit der Wandstärke!
Du hast recht.

Dieser Typ Aufgabe ist ja ein Klassiker in den Schulbüchern.
Aber man sollte schon anmerken, dass die senkrechte Höhe/Dicke gemeint ist.

Roman-22

12:16 Uhr, 20.06.2016

> b)

Wie groß wäre sein Volumen?
Da ich in diesem Thread schon mal die Rolle des pingeligen Spielverderbers eingenommen habe:
Das Volumen eines Kelch könnte man doch auch glatt und durchaus vernünftigerweise als das Füllvolumen, also das Fassungsvermögen des Kelchs interpretieren, wenn nichts anderes näher spezifiziert ist. Wirklich eindeutig ist diese Formulierung also auch nicht. Das Fassungsvermögen wäre dann eben nur das Volumen des Kegelstumpfes

(\frac{31}{12} \cdot π)

.
Das Materialvolumen

(\frac{113}{12} \cdot π)

könnte man dann in Verbindung mit der Dichte des Materials zu einer Aufgabe verwursten, bei der das Gewicht des Kelchs gesucht ist. Allerdings wäre das auch nur nach Hinzufügen von Bodenplatte/Sockel sinnvoll.

R

anonymous

14:37 Uhr, 20.06.2016

Hallo Respon und Roman-22,

ich habe keine Fragen mehr und möchte mich herzlich bei euch bedanken!!

,,Da ich in diesem Thread schon mal die Rolle des pingeligen Spielverderbers eingenommen habe"

>

Nein, das denke ich nicht. :-) Du löst meine Verwirrungen auf und erläuterst
deine Antworten so, dass sie verständlich sind. Falls ich dann noch Fragen habe, hake
ich ja nach. ;-)

Weißst du, wer diese Aufgabe gestellt hat?

http//www.onlinemathe.de/forum/Querschnitt-einer-Rutsche

Aber mehr solcher Aufgaben - die von ihm gestellt sind - habe ich auch nicht ... :-)

Roman-22

14:52 Uhr, 20.06.2016

>

Aber mehr solcher Aufgaben - die von ihm gestellt sind - habe ich auch nicht

. .

. :-)
Da haben wir aber nochmal Glück gehabt!
Diese Rutsche war in der Tat eine wilde Ausgeburt an "Kreativität". Da ist der Kelch hier ja noch vergleichsweise harmlos und normal.

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