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Rotationskörper - Volumen eines Fasses

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: eines Fasses, Ich benötige den Lösungsweg mit einer ausführlichen Rechnung, Rotationskörper, Volumen

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16:43 Uhr, 04.05.2010

hallo liebe leute, ich muss morgen einen vortrag über rotationskörper halten und dabei diese aufgabe an der tafel erläutern.
Ein Fass hat die Höhe

h = 1,2 m

und die Radien

r = 0.08 m

und

R = 1,0 m .

a)Bestimmen Sie sein Volumen V. Wählen Sie dazu ein geeignetes Koordinatensystem umd bestimmen Sie eine quadratische Funktion

f,

über deren Graph Sie das Fass als Rotationskörper erhalten.
das Problem ist, dass ich ÜBERHAUPT NICHT weiß, wie das geht. bitte helft mir ganz schnell

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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17:19 Uhr, 04.05.2010

hallo,

ich nehme mal an, dass

r

der radius des fassdeckels und des fassbodens ist. und

R

ist wohl der radius des fassbauchs. wenn dem so ist, wird das aber ein ganz schoen rundes fass werden, weil

r

nur 8 cm betraegt...

egal, die herangehensweise bleibt dieselbe auch wenn man ein groesseres

r

waehlt.

wenn du eine parabel malst und dir nur den wellenberg anschaust, dann wird das unser seitenprofil unseres fasses darstellen (siehe bild unten). wir muessen also erstmal diese parabel mathematisch bestimmen und dann um die

x

achse rotieren lassen. die rotation wird dann unser fass formen. das fass liegt also auf der seite.

also die allgemeine formel fuer eine parabel lautet ja

y = a x^{2} + b x + c

wir haben drei unbekannte. um diese zu bestimmen brauchen wir drei gleichungen. es sind ja drei bedingungen gegeben um diese gleichungen aufzustellen. welche sind das (siehe wieder bild)?

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18:04 Uhr, 04.05.2010

erstmal vielen dank für die hilfe :-)
ich denke das sind

h, r

und

R

oder nicht?

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18:05 Uhr, 04.05.2010

quatsch entschuldige, das sind

a, b

und

c

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18:16 Uhr, 04.05.2010

a, b

und

c

bestimmen zu koennen brauchen wir drei gleichungen. kannst du diese aufstellen?

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18:17 Uhr, 04.05.2010

nein

: (

ich bin so eine totale mathe-null

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18:20 Uhr, 04.05.2010

ok,

das bild dass ich dir gemalt habe zeigt eine parabel. die allgemeine formel dafuer habe ich dir auch schon angegeben

y = a x^{2} + b x + c

wenn ich jetzt fuer

x

die

0,6

einsetze, was soll dann fuer

y

rauskommen (siehe bild)?

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18:21 Uhr, 04.05.2010

y = 1

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18:24 Uhr, 04.05.2010

genau, das ist also unsere erste gleichung

1 = a \cdot {0,6}^{2} + b \cdot 0,6 + c

was muss fuer

y

rauskommen wenn ich

x = 0

einsetze?

was muss fuer

y

rauskommen wenn ich fuer

x = 1,2

einsetze?

stelle die gleichungen auf...

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18:25 Uhr, 04.05.2010

wenn ich für

x 1,2

einsetze, kommt 1 raus, und wenn ich für

x 0

einsetze, kommt 1 raus. oder?

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18:28 Uhr, 04.05.2010

1 = a \cdot 2 + b + c

0,08 = a 1,2 \cdot 2 + b 1,2 + c

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18:36 Uhr, 04.05.2010

naja, bei

x = 0

kommt fuer

y = 0,08

raus. und bei

x = 1,2

kommt auch

y = 0,08

raus.

das jeweils fuer

x

und

y

einsetzen ergibt

y = a x^{2} + b x + c

0,08 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c

0,08 = a \cdot {1,2}^{2} + b \cdot 1,2 + c

wir haben also insgesamt drei gleichungen:

1 = a \cdot {0,6}^{2} + b \cdot 0,6 + c

0,08 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c

0,08 = a \cdot {1,2}^{2} + b \cdot 1,2 + c

kannst du dieses gleichungssystem loesen?

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18:42 Uhr, 04.05.2010

nein. ich glaube nicht, dass das stimmt, was ich dafür rausbekommen hab

: s

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18:43 Uhr, 04.05.2010

nein. ich glaube nicht, dass das stimmt, was ich dafür rausbekommen hab

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18:47 Uhr, 04.05.2010

was hast du denn raus?

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18:50 Uhr, 04.05.2010

hilfst du mir trotzdem noch?

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19:21 Uhr, 04.05.2010

ok, planaenderung...

ich habe einen weg gefunden mit dem das ganze etwas leichter zu berechnen ist (siehe bild). ich hab lediglich unser fass weiter in die mitte gelegt.

dann ist naemlich das tolle, dass unsere allgemeine parabelgleichung nur noch

y = a x^{2} + b

lautet. das nennt sich eine gerade funktion und kann nur variablen

x

mit geraden exponenten enthalten. jetzt brauchen wir nur zwei gleichungen weil wir nur zwei unbekannte haben.

also wenn ich

x = 0

einsetze muss

y = 1

rauskommen.

1 = a 0^{2} + b

und wenn ich

x = 0,6

einsetze muss

y = 0,08

rauskommen.

0,08 = a {0,6}^{2} + b

aus der ersten gleichung kann man direkt

b

berechnen, denn null mal irgendwas ergibt null. uebrig bleibt

b = 1

das koennen wir in die zweite gleichung einsetzen

0,08 = a {0,6}^{2} + 1

- 0,92 = a 0,36

a = - 2,56

also lautet unsere parabel mit dem gefundenen a und

b

y = - 2,56 x^{2} + 1

diese parabel muessen wir jetzt um die

x

achse rotieren lassen, so dass dadurch unser fass geformt wird. die volumenformel eines solchen rotationskoerpers lautet

V = π \int {(f (x))}^{2} d x

fuer das

f (x)

muessen wir unsere parabel einsetzen

V = π \int {(- 2,56 x^{2} + 1)}^{2} d x

ausserdem geht ja unser fass nur von

- 0,6

bis

0,6

(siehe bild) also muessen die grenzen unseres integrals lauten

V = π \int_{- 0,6}^{0,6} {(- 2,56 x^{2} + 1)}^{2} d x

und jetzt integrieren...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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