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Schnittpunkte Kreis und Koordinatenachsen

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

katinkaa aktiv_icon

13:53 Uhr, 05.02.2010

Hallo,

es geht darum, dass ich Tangente und Normale mit Hilfe der Differentialrechnung an einem Kreis berechnen soll. Und zwar jene in den beiden Schnittpunkten des Kreisen

{(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{=} 25

mit der

x -

bzw. auch

y -

Achse.

Mein Problem bei der Sache: wie bestimme ich die Schnittpunkte des Kreises? Wenn ich nach

x -

bzw.

y

auflöse, habe ich quadratische Gleichungen. Wie ermittel ich da meine Unbekannte?

Vielen Dank schon jetzt für jede Antwort.

Gruß
Kath

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

smoka

14:07 Uhr, 05.02.2010

Zuerst mal sollte man sich klar machen, dass ein Kreis nicht als Funktion (Abbildung) dargestellt werden kann, sondern höchstens ein Halbkreis.
Ich würde Die Gleichung erstmal nach y umstellen, dann kannst Du den Halbkreis wie eine Funktion behandeln und x=0 setzen um die Schnittpunkte mit der y-Achse zu ermitteln bzw. y=0 setzen um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu ermitteln.
Beim Lösen quadratischer Gleichungen wird Dir die p-q-Formel eine Hilfe sein.

katinkaa aktiv_icon

15:15 Uhr, 05.02.2010

ok, ja, das hatte ich mir schon gedacht, das das so geht. nur kurz zur klärung (hab nämlich keine lösung für das beispiel):

also ich löse mein kreisgleichung

{(x + 1)}^{2} = 25 - {(y - 4)}^{2}

nach

x

bzw. 0 auf und erhalte:

x^{2} + 2 x - 23 = 0

mit meiner

\frac{p}{q} -

formel erhalte ich dann 2 schnittpunkte und zwar

S (3,89; 0)

und

S (- 5,89; 0)

zu jedem dieser schnittpunkte berechne ich meine steigung der jeweiligen tangente und dann eben besagte oder gesuchte tangentengleichung.

dann bekomme ich für schnittpunkt

(3,89; 0)

f' (x) = 2 x + 2

f' (3,89) = 9,78

Tangente:

y - \frac{0}{x} - 3,89 = 9,78

y = 9,78 x - 38,04

ja, stimmt das so?

kann ich die

\frac{p}{q} -

gleichung denn auch für die

y -

werte anwenden?
vielen dank für deine anwort.

gruß kath

smoka

15:32 Uhr, 05.02.2010

Es ist mir schleierhaft, was Du da gemacht hast...
Lies Dir nochmal genau durch, was ich geschrieben habe.

Übrigens: wenn Du

(x + 1)^{2} = 25 - (y - 4)^{2}

nach x bzw. 0 auflöst kommt nicht

x^{2} + 2 x - 23 = 0

raus!

katinkaa aktiv_icon

16:36 Uhr, 05.02.2010

ich hab kein plan, also nochmal:

Kreis:

{(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25

den kann ich als funktion bearbeiten, in dem ich ihn als halbkreis darstelle.

dazu stelle ich ihn nach

y

um:

{(y - 4)}^{2} = 25 - {(x + 1)}^{2}

wie genau ermittel ich denn nun die schnittpunkte? mit der

\frac{p}{q} -

gleichung, die ist doch nur für quadratische gleichungen?

wenn ich

x = 0

setze, dann erhalte ich:

{(y - 4)}^{2} = 24,

so und hier weiß ich nicht weiter, weil das alles schon so lange her ist (kreise und so).

wie gehts denn nun weiter? bitte noch einen tipp.
danke

als funktion sieht das dann so aus?

f (x) =

wurzel aus

25 - {(y - 4)}^{2}

????

smoka

17:01 Uhr, 05.02.2010

Du hast nach

(y - 4)^{2}

umgestellt, nicht nach

y

.
so stellt man nach y um:

(y - 4)^{2} = 25 - (x + 1)^{2}

\Rightarrow y^{2} - 8 y + 16 = 25 - (x + 1)^{2}

\Rightarrow y^{2} - 8 y - 9 + (x + 1)^{2} = 0

Jetzt p-q-Formel anwenden:

\Rightarrow y_{1, 2} = 4 \pm \sqrt{16 - (- 9 + (x + 1)^{2})}

\Rightarrow y_{1, 2} = 4 \pm \sqrt{24 - 2 x - x^{2}}

Wie vorhin schon versprochen erhält man jeweils einen Halbkreis als Funktion.

mit der p-q-Formel löst man quadratische Gleichungen näheres kannst Du Wikipedia entnehmen.

Welche Schnittpunkte möchtest Du denn berechnen? Die mit den Koordinatenachsen?

Fefel

17:14 Uhr, 05.02.2010

Hallo,

Kreismittelpunkt

(- 1 | 4)

Kreisradius

= 5

Schnittpunkte mit der x-Achse

Nach

x

auflösen:

x_{1} = - 1

–

\sqrt{9 + 8 y - y^{2}}

x_{2} = - 1 + \sqrt{9 + 8 y - y^{2}}

y = 0

setzen:

x_{1} = - 4

x_{2} = 2

Schnittpunkte mit der y-Achse:

y_{1} = 4

–

\sqrt{24 - 2 x - x^{2}}

y_{2} = 4 + \sqrt{24 - 2 x - x^{2}}

x = 0

setzen

y_{1} = 2 (2 - \sqrt{6})

y_{2} = 2 (2 + \sqrt{6})

Tangenten in den Schnittpunkten

Normalen in den Schnittpunkten

Mit je 2 Punkten

Kreismittelpunkt

(- 1 | 4)

und

(2 | 0)

n (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}

t (x) = \frac{3}{4} x - \frac{3}{2}

oder

1 .

Ableitung

f' (x) = \frac{3}{\sqrt{24 - 2 x - x^{2}}}

x = 2

Steigung

= \frac{3}{4}

usw

katinkaa aktiv_icon

17:51 Uhr, 05.02.2010

ah ok, ja jetzt ist mir einiges klarer.
also ich stelle einfach die gleichungen für die beiden halbkreise auf, mache fallunterscheidungen und bekomme so meine schnittpunkte.

vielen vielen dank euch beiden. ist einfach nicht mehr so klar alles und vieles vegessen, wenn man sich ein paar jahre damit nicht beschäftigt hat.

schönen tag noch.

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