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Schreiben Sie X4 − 1 ∈ R[X] als Produkt von Prim..

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Polynome

Ringe

Tags: Algebra, chinesischer Restsatz, Lineare Algebra, polynom, Primelement, produkt, Ring, Ringhomomorphismus

 
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S-amalgh

S-amalgh

12:04 Uhr, 20.11.2020

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(a) Schreiben Sie X4 − 1 ∈ R[X] als Produkt von Primelementen.


(b) Konstruieren Sie einen Ringhomomorphismus R[X] /(X^4−1) =R × R × C.


Hinweis: Chinesischer Restsatz.



Hallo zusammen, Könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

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12:06 Uhr, 20.11.2020

Antworten
Nutze x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1)
S-amalgh

S-amalgh

12:08 Uhr, 20.11.2020

Antworten
Ja das x4-1 habe ich schon so gemacht (x2+ 1)·(x + 1)·(x -1)
aber ich weiß nicht was ich weiter machen soll..
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 20.11.2020

Antworten
x-1, x+1 und x2+1 sind offensichtlich irreduzibel über ℝ[x].
Und da dieser Ring faktoriell ist, sind sie daher Primelemente.

Nach dem chinesischen Restsatz ist das System
x=a mod x+1
x=b mod x-11
x=cx+d mod x2+1
für jedes Tupel (a,b,d+ci)∈ℝ×ℝ×ℂ lösbar.
Das definiert die Abbildung (a,b,c)→x. Sie ist der gesuchte Ringhomomorphismus.
Frage beantwortet
S-amalgh

S-amalgh

13:00 Uhr, 20.11.2020

Antworten
Alles klar Dankeschön! :-))