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Schreibweise Integral
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration
 
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Hallo ihr, Ich wollte mir gerne mal Klarheit über etwas verschaffen, was ich schon von Anfang an nie wirklich verstanden habe. Und zwar schreibt man ja in der Integralrechnung immer Anfangs bin ich davon ausgegangen, dass das einfach nur eine Schreibweise ist, die halt das Infenitesimal der Integrationsvariable verwendet. (Weil ich das auch so im Mathebuch gelesen habe.) Das verstehe ich nicht so ganz, weil dx doch kein Faktor ist, sondern einfach zur Schreibweise gehört. Kann mir jemand mal verständlich erklären, wann ich dy/dx irgendwie als Faktor betrachten muss und wann als Schreibweise? Vielen Dank |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hi David, mach dir nichts daraus, das versteht niemand so recht :-) Substitution ist auch erst einmal eine Sache für echte Integrale und nicht für Stammfunktionen... Es ist schon richtig, wenn ich eine Funktion habe, dann ist einfach nur eine Schreibweise für eine Stammfunktion von . Das man später anfängt, mit oder oder ähnlichem zu multiplizieren ist nicht ganz so einfach zu erklären. Ich persönlich verstehe es so: ist ein Operator, d.h. ist eine Funktion, die ich auf eine Funktion anwende und dann eine weitere Funktion rausbekommen (nämlich die Stammfunktion). Diese Funktion hat ein multiplikatives Inverse , was einfach die Ableitung einer Funktion nach ist. Das macht in so fern Sinn, da ist. Allerdings ist das Problem, dass keine injektive Funktion ist (Integrationskonstante) und daher keine Umkehrfunktion hat. Aber so ähnlich müsste das sein :-) Wenn also jemand mehr über dieses Thema weiß, dann würde ich mich auch freuen, wenn er mir das jetzt mal endgültig erklären würde... Die meisten Fachrichtungen scheren sich einfach nicht um diese Frage (welche wirklich eine gute ist!) und machen das einfach so, wie es funktioniert... Lieben Gruß Sina |
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Hey, Diese Antwort scheint zwar logisch, aber ist die Umkehrfunktion und die Ableitung ja doch noch ein Unterschied? Wenn f(x) eine Funktion ist, so ist 1/f(x) ja nicht die Ableitung. Oder ist das "symbolisch" gemeint? Ja - ich fänds auch gut, wenn jemand das klarstellen könnte :-) |
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"Die meisten Fachrichtungen scheren sich einfach nicht um diese Frage (welche wirklich eine gute ist!) und machen das einfach so, wie es funktioniert..." genau so sieht es aus... ich hatte eine aehnliche frage auch schon gestellt und auch antwort bekommen. jedoch wird das ganz schoen eklig, so dass ich auch noch keinen moment gefunden habe mir das mal genauer reinzuziehen. also noch mal von vorn. wenn man sich mal an die herleitung der integralrechnung erinnert, weiss man, dass man eigentlich nur sehr duenne rechtecke unter eine funktion legt. die hoehe der rechtecke betraegt und die breite . beide zusammenmultipliziert ergibt die flaeche eines solchen rechtecks. wenn man nun alle rechtecke unter einer funktion zusammenaddiert erhaelt man die flaeche unter der funktion von . das ist ziemlich ungenau. genauer wird das wenn man sehr klein macht. eben infinitesimal klein. dafuer hat man nun diese schreibweise gewaehlt. ist ein langgestrecktes und steht fuer summe. steht fuer ein infinitesimales stueck . also ist erstmal entspricht entspricht das fanden alle ganz toll, da man nun die flaeche unter einer funktion exakt berechnen konnte. genauso wie man durch division oder multiplikation umstellen kann, kann man das auch mit . Pustekuchen!! dann kamen die naechsten Leute an und haben gezeigt, dass die herangehensweise infinitesimaler zahlen zu widerspruechen fuehrt. mal ist so klein dass es gleich null ist. mal ist es groesser null, so dass man . durch teilen darf. beispiel eines solchen widerspruchs ist zu finden unter http//de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl Über jahre hinweg war also allen bewusst, dass das rechnen mit infinitesimalen falsch ist, aber hat dennoch diese art der rechnung immer zu richtigen ergebnissen gefuehrt. Physiker haben also bewusst falsch gerechnet und dann im nachhinein immer ihre berechnungen im experiment erprobt, um festzustellen, dass alles doch richtig ist. Fazit: die behandlung von wie eine variable, die eine super kleine zahl enthaelt, ist falsch, fuehrt aber zu richtigen ergebnissen. dann kamen die Grenzwertbetrachtungen. die haben erst dafuer gesorgt, dass die differentialrechnung widerspruchsfrei wurde. man redet also nicht mehr von infinitesimalen zahlen sondern von grenzwerten. ganz klar zu sehen bei dem grenzwert des differentialquotienten das ist wiederum ganz toll, da durch den verzicht auf infinitesimale alles widerspruchsfrei wurde. ABER: jetzt wurde zum Operator. schaut man sich naemlich die regeln der Grenzwertrechnung an weiss man dass man diesen limes nicht "auseinanderrupfen" darf, wie im folgenden Fazit: durch die grenzwerte wurde alles widerspruchsfrei, allerdings wurden damit ableitungs- und integrals-Symbole zu Operatoren, die man nicht auseinandernehmen darf. wie eine variable zu behandeln ist also immernoch falsch, fuehrt aber immernoch zu richtigen ergebnissen. letztendlich kam dann jemand daher, der die Hyperreellen zahlen eingefuehrt hat. mit diesen zahlen lassen sich auch Rechnungen mit infinitesimalen widerspruchsfrei vorfuehren. Hat man diese zahlen verstanden sieht man ein, dass das rechnen mit wie mit einer stinknormelen variable funktioniert. hier hoeren aber meine kenntnisse auf. Fazit: mit den hyperreellen zahlen sieht man ein, dass man wie eine stinknormale variable behandeln darf. die meisten studiengaenge verzichten aber darauf diese zahlen einzufuehren. lg |
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Vielen Dank! Ein toller Beitrag. Ich bin glaube ich ganz froh, dass ich die Hyperreellen Zahlen dann wohl nicht lernen muss. (Studiere jetzt Informatik) :-) |
