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Schwere Wurzelgleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Binom, Binomie, binomische Formel, Lösen einer Gleichung, Wurzel, Wurzelgleichung

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08:40 Uhr, 01.04.2016

Hallo,

Ich brauche etwas Hilfe bei einer Wurzelgleichung bei der ich einfach nicht zu einer Lösung komme. Ich bin schon am zweifeln ob die Gleichung überhaupt eine Lösung hat.

Die Gleichung lautet:

$\sqrt{5 x + 19} = \sqrt{x + 7} + 2 * \sqrt{x + 5}$

Bisher bin ich wie folgt vorgegangen:

$\sqrt{5 x + 19} = \sqrt{x + 7} + 2 * \sqrt{x + 5}$ ------->/ quadrieren

$5 x + 19 = (\sqrt{x + 7} + 2 * \sqrt{x + 5}) ²$ ------->/ Binom auflösen

$5 x + 19 = x + 7 + 4 * \sqrt{(x + 7) (x + 5)} + x + 5$ ------->/ zusammenfassen, -2x , -12

$3 x + 7 = 4 * \sqrt{(x + 7) (x + 5)}$ ------->/ quadrieren

$(3 x + 7) ² = 16 * (x + 7) (x + 5)$ ------->/ Binom und Klammern auflösen

$9 x² + 42 x + 49 = 16 * (x² + 12 x + 35)$ ------->/ Klammer auflösen

$9 x² + 42 x + 49 = 16 x² + 192 x + 560$ ------->/ -9x² , -42x , - 49

$0 = 5 x² + 150 x + 511$ ------->/ :5

$0 = x² + 30 x + 102, 2$

Mit der pq- Formel komme ich dann auf

x1= -3,9148...., x2=26,0815.....

Mit den Ergebnissen klappt die Lösung natürlich nicht.

Weil es ja nicht möglich ist die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen ist der kleinste Wert den x annehemn kann -3,8. --> $\sqrt{5 * (- 3, 8) + 19} = 0$

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt und mir etwas auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank schonmal im Vorraus.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Vorwissen

abakus

09:02 Uhr, 01.04.2016

Hallo,
da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, kommt neben einer eventuell vorhandenen Lösung eventuell noch eine Scheinlösung dazu, die erst durch eine Probe als ungültig identifiziert werden kann.
Wie sieht denn die Probe für die zweite Lösung deiner qu. Gleichung aus?

PS: Du hast noch einen Rechenfehler drin. 16x²-9x² ist nicht 5x².

Phantom94 aktiv_icon

09:28 Uhr, 01.04.2016

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Oh gott der Rechenfehler ist peinlich. XD

Bei der zweiten Lösung hatte ich gerade vergessen das (-) zu schreiben. Die Lösung ist -20,... also habe ich Sie ebenfalls nicht ausprobiert weil die Rechnung dann nicht funktioniert.

Aber mit dem Rechenfehler nochmal ein neuer Versuch:

$0 = 7 x² + 150 x + 511$ ------->/ :7

$0 = x² + \frac{150}{7} x + 73$ ------->/ pq-Formel

x1= 8,937..... , x2 = -30,3658.....

Leider auch damit bei der Probe keine Lösung :(

abakus

09:53 Uhr, 01.04.2016

Die Gleichung hat tatsächlich keine Lösungen, siehe Abbildung.

Respon

09:55 Uhr, 01.04.2016

x^{2} + 12 \cdot x + 31 = 0

Hast du dir vorher Grundmenge und Definitionsmenge überlegt ?

x = - 6 - \sqrt{5}

wäre "formal" eine Lösung, wenn man komplexe Wurzeln akzeptiert.

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10:10 Uhr, 01.04.2016

Vielen Dank für die Hilfe

anonymous

10:59 Uhr, 01.04.2016

Hallo
Du hattest noch mehr Rechenfehler drin:

... = {(... + 2 \cdot \sqrt{x + 5})}^{2} - - - \to

Binom auflösen

... = . .

+ 4 \cdot (x + 5)

Phantom94 aktiv_icon

11:39 Uhr, 01.04.2016

Hallo cositan,

bei dem Teil der Gleichung bin ich mir eigentlich ziemlich sicher gewesen.

Ich verstehe nicht ganz was du meinst, was falsch ist.

$(\sqrt{x + 7} + 2 * \sqrt{x + 5}) ² \to \to / (a + b) (a + b) (\sqrt{x + 7}) ² + (\sqrt{x + 7} * 2 * \sqrt{x + 5}) + (\sqrt{x + 7} * 2 * \sqrt{x + 5}) + (\sqrt{x + 7}) ² \to \to / u m g e s t e l l t x + 7 + 2 * (\sqrt{x + 7} * 2 * \sqrt{x + 5}) + x + 5 \to \to / U m s t e l l e n (\sqrt{a} * \sqrt{b} = \sqrt{a * b}) x + 7 + 2 * (2 * \sqrt{(x + 7) * (x + 5)}) + x + 5 \to \to / K l a m m e r w e g x + 7 + 4 \sqrt{(x + 7) * (x + 5)} + x + 5$

Bummerang

12:02 Uhr, 01.04.2016

Hallo,

da wird ja immer mehr falsch! Suche bei Dir mal, was "b" ist. Zunächst ist das

2 \cdot \sqrt{x + 5},

dann ist es in der nächsten Zeile zunächst

2 \cdot \sqrt{x + 5}

und am Ende

\sqrt{x + 7}

. In der dritten Zeile ist es in der Form

b^{2}

zu finden und heisst nun

(x + 5),

was für

b

bedeuten würde,

\sqrt{x + 5}

gewesen zu sein!

Edddi aktiv_icon

12:12 Uhr, 01.04.2016

. .

. Ein möglicher Weg wäre die Abschätzung.

Es muss allg. wegen der Lösungsmöglichkeit aller Wurzeln gelten:

x > - \frac{19}{5}

Für

x > - \frac{19}{5} = - 3,8

gilt:

x + 5 < x + 7

\sqrt{x + 5} < \sqrt{x + 7}

sowie

5 \cdot x + 19 < 9 \cdot x + 45

\sqrt{5 \cdot x + 19} < \sqrt{9 \cdot x + 45}

Damit:

\sqrt{5 \cdot x + 19} < \sqrt{9 \cdot x + 45} = 3 \cdot \sqrt{x + 5} = \sqrt{x + 5} + 2 \cdot \sqrt{x + 5} < \sqrt{x + 7} + 2 \cdot \sqrt{x + 5}

Damit gibt's kein

x,

welches die Gleichung

\sqrt{5 \cdot x + 19} = \sqrt{x + 7} + 2 \cdot \sqrt{x + 5}

erfüllt.

;-)

Bummerang

12:18 Uhr, 01.04.2016

Hallo Edddi,

der "normale" Weg ist hier etwas schneller:

\sqrt{5 \cdot x + 19} = \sqrt{x + 7} + 2 \cdot \sqrt{x + 5}

\sqrt{5 \cdot x + 19} = \sqrt{x + 7} + \sqrt{4 \cdot x + 20}

5 \cdot x + 19 = x + 7 + 2 \cdot \sqrt{x + 7} \cdot \sqrt{4 \cdot x + 20} + 4 \cdot x + 20

- 8 = 2 \cdot \sqrt{x + 7} \cdot \sqrt{4 \cdot x + 20}

fertig! Wenn man immer richtig gerechnet hat... Und das einzige, was man wirklich rechnen musst ist

2 \cdot 2 = 4

4 \cdot 1 = 4

4 \cdot 5 = 20

5 - 5 = 0

19 - 7 - 20 = - 8

Wobei bei der letzten Gleichung schon genügt festzustellen, dass der linke Term kleiner als Null ist. Ob es

- 8

oder

- 60

oder

- 1000000

ist, das ist dann vollkommen egal!

Phantom94 aktiv_icon

13:27 Uhr, 01.04.2016

ok, hab gesehen das ich oben das "2*" verschluckt habe.
Vielen Dank, jetzt bin ich schlauer.

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