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Schwerpunkt der Fläche unter einer Kurve

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

basti1337 aktiv_icon

22:35 Uhr, 07.06.2011

Hallo,

befinde mich gerade in der Klausurvorbereiung und hänge an folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Fläche unter der Kurve

y = x^{3} - 8

in den Grenzen

x 1 = 2

und

x 2 = 3

Ich habe nun folgende Formel im Internet gefunden:

xs=

\frac{1}{2 \cdot A} \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2}

xs ist der Abstand zum Schwerpunkt

Leider weiss ich jetzt nicht was ich für A einsetzen muss.

Auch habe ich diese Formel hier gefunden:

xs=

\frac{π}{V} \int_{a}^{b} x \cdot {(f (x))}^{2}

muss ich jetzt für

V = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2}

eisetzen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Yokozuna aktiv_icon

10:34 Uhr, 08.06.2011

Hallo,

es ist

x_{s} = \frac{1}{A} \cdot \int_{a}^{b} x \cdot f (x) \cdot d x

und

y_{s} = \frac{1}{2 \cdot A} \cdot \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} \cdot d x

A ist dabei die Fläche zwischen der Kurve

f (x)

und der x-Achse:

A = \int_{a}^{b} f (x) \cdot d x

Diese Formeln findest Du

z . B

. auch sehr ausführlich hergeleitet in der Facharbeit
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Facharbeitenpdf/FacharbeitNTMR.pdf
auf Seite 6 ganz unten.

Bei der Formel

x_{s} = \frac{π}{V} \cdot \int_{a}^{b} x \cdot {(f (x))}^{2} \cdot d x

handelt es sich um den Schwerpunkt eines Rotationskörpers, der durch Rotation von

f (x)

um die x-Achse entsteht.

V

ist das Volumen des Rotationskörpers

V = π \cdot \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} \cdot d x

Viele Grüße
Yokozuna

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