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Schwerpunktberechnung / Doppelint. mit (1+cosx)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, schwerpunktberechnung, Trigonometrie

phil9r aktiv_icon

16:31 Uhr, 10.12.2014

Hallo,

ich kaempfe gerade mit der Schwerpunktberechnung einer Fläche.

Folgende Fragestellung:
Schwerpunkt der Fläche, die durch die Kardioide

r = 1 + cos φ,

den Mittelpunktskreis

r = 2

und die beiden Strahlen

φ = 0

und

φ = π

berandet wird.

Um den Schwerpunkt zu berechnen gibt es die Formel:

x = \frac{1}{A} \int \int r^{2} cos φ

d φ

A = \int \int r

d φ

A geht noch relativ einfach, mit den entspr. Grenzen (äußeres

\int

von

φ = 0

bis

π,

inneres

\int

von

r = 2

bis

1 + cos φ)

Für A erhält man

- \frac{5}{4} π,

das krieg ich bedingt noch hin - hab einfach auswendig gelernt was das Integral von

\frac{1}{2} {(1 + cos π)}^{2}

ist. Könnte ich aber ohne online integrator ala wolfram

α

auch nicht lösen.

Nun wirds aber ne tricky Nummer

. .

.

Wie berechne ich bitte das Integral von

\frac{1}{3} {(1 + cos φ)}^{3} \cdot cos φ

ohne minimum 2 Stunden für die Berechnung zu brauchen und am Ende zu

100 % n

falsches Ergebnis zu erzielen? :-P)

Wolframalpha gibt mir dann das angehängte Bild aus, wollte das nicht in den Formeleditor tippen

. .

. Das ist das äußere Integral für Xs mit dem ausgerechneten inneren Integral.

Ebenfalls angehängt habe ich meine Rechnung als Bild, falls es zu Unklarheiten kommt wie ich was gerechnet habe

. .

. Sorry für die Aufnahmequalität, meine Telefonkammera ist dahin

. .

.

Vielen Dank vorab für jedwede Hilfe!

=)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

phil9r aktiv_icon

16:43 Uhr, 10.12.2014

Also eine Antwort hätte ich jetzt sogar schonmal, wurde mir grade von einem Kommilitonen gesagt.
Die Lösung heißt zugelassene Taschenrechner in der Prüfung.

http://www.amazon.de/Casio-FX-991DE-technisch-wissenschaftlicher-Rechner-nat%C3%BCrlichem/dp/B0050OTQ42/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1418226127&sr=8-1&keywords=casio+fx-991de+plus

ledum aktiv_icon

18:56 Uhr, 10.12.2014

Hallo
die andere Antwort ist, dass man ein paar trigonometrische Formeln kennen sollte oder in der Formelsammlung nachschlagen.
etwa

{cos}^{2} (x) = \frac{1}{2} \cdot (cos (2 x) + 1)

oder cos^3(x)=1/4*(3cos(x)+cos(3x))
usw.
Gruß ledum

phil9r aktiv_icon

10:53 Uhr, 12.12.2014

Vielen Dank für die Antwort!

Formelsammlung habe ich nachgeschlagen, auch Pascals Triangle ist mir ein Begriff.

Meine Problematik liegt eher an der Klammer, nämlich

{(1 + cos φ)}^{3} \cdot cos φ

Bis ich das ausgerechnet habe, ist die Klausurzeit abgelaufen. :-D)

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