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Separable Polynome / mehrfache Nullstellen
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: polynom
 
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Hallo zusammen, ich verhaspele mich momentan irgendwie mit der Definition separabler Polynome. In der Algebra I-VL habe ich gelernt, dass ein Element ( ein Körper) separabel ist, sofern das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen im alg. Abschluss besitzt. Eine Körpererweiterung heißt separabel, falls jedes Element separabel ist. Soweit so gut. Im Zuge der Recherchen zu meiner Bachelorarbeit bin ich auf den nützlichen Begriff der separablen Polynome gestoßen. Mir ist klar, dass ein irreduzibles Polynom separabel ist, wenn die für formale Ableitung gilt. Ein beliebiges Polynom heißt separabel, falls jedes seiner irreduziblen Faktoren separabel ist. Ich konnte bereits zeigen, dass ein Polynom genau dann separabel ist, wenn sein Zerfällungskörper separabel ist. Bis hier dachte ich, dass alles soweit klar ist. Mich stört jetzt die folgende Frage: können separable Polynome mehrfache Nullstellen haben? Ich bekomme weder ein Beispiel dafür hin, noch einen Beweis, dass das nicht gehen sollte. Ohne nachzudenken, hätte ich sofort nein gesagt, nur bin ich mir mittlerweile absolut nicht mehr sicher. Ich bleibe immer an der folgenden Tatsache hängen: Angenommen, ein beliebiges Polynom hat die mehrfache Nullstelle in seinem Zerfällungskörper . lässt sich als Produkt der Minimalpolynome aller seiner Nullstellen schreiben. Aber nur weil bspw. eine mehrfache Nullstelle von ist, heißt das nicht, dass das Minimalpolynom ebenfalls als mehrfache Nullstelle haben muss. Ein sehr triviales Beispiel wäre ja (mit ). Dann ist mehrfache Nullstelle von aber das Minimalpolynom ist ja nur der Linearfaktor . Hat jemand von euch einen Hinweis für mich, in welche Richtung ich es weiter versuchen soll? Mittlerweile habe ich soviel darüber nachgedacht, dass ich eventuelle Gedankenfehler nicht mehr erkenne. Danke vorab und LG Hannes |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo " lässt sich als Produkt der Minimalpolynome ALLER seiner Nullstellen schreiben". wenn eine Nullstelle fach ist, hast du eben die entsprechenden gleichen Minimalpolynome als Faktoren.(x-a)^n war das deine Frage? ledum |
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Hey Ledum, hab gemerkt, dass in der Literatur nicht ganz einheitliche Definitionen zu separablen Polynomen verwendet werden. Die, die ich jetzt verwende, verlangt, dass jeder irreduzible Faktor nur einfache Nullstellen haben darf. Die andere (und da war meine Verwirrung) ist etwas strikter und verlangt, dass ein separables Polynom (beliebig) nur einfache Nullstellen haben darf. Hat sich also jetzt geklärt! Vielen Dank für deine Antwort. LG |
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