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Sinus Konvergenz

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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19:24 Uhr, 31.05.2020

Hallo! Ich möchte zeigen, dass die Sinusreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}

konvergiert. Ich habe es mit dem Quotientenkriterium probiert und bin auf

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{x^{2}}{(2 n + 2) (2 n + 3)}

gekommen und hier stehe ich an. Wie komme ich da weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

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21:24 Uhr, 31.05.2020

Hi,

ich meine beim Quotientenkriterium betrachtet man den Limes

n

gegen

\infty

,danach wird die Aussage dann klarer.

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23:27 Uhr, 31.05.2020

Okay, dann komme ich auf

\frac{x^{2}}{2} (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n + 3})

, aber ab hier komme ich dann wieder nicht mehr weiter.

Roman-22

23:35 Uhr, 31.05.2020

Wenn du den Konvergenzradius bestimmen möchtest, dann solltest du

r = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

bilden. Konvergenz liegt dann für alle

x

mit

| x | < r

vor und die Fälle

x = \pm r

muss man dann noch gesondert behandelt (entfällt bei dir aber wegen

r =

\infty

").
(In deinem Fall ist natürlich

x

durch

x^{2}

zu ersetzen).

Das

x

hat bei diesem Grenzwert also nichts verloren. Die

a_{n}

sind dabei die Koeffizienten der Potenzen von

x

.

Das ist natürlich eng verknüpft mit den Quotientenkriterium, welches du anwenden wolltest.

Da gilt in deine Beispiel, dass die Reihe für alle

x

konvergent ist, für die

lim_{n \to \infty} \frac{x^{2}}{(2 n + 3) \cdot (2 n + 2)} < 1

gilt. Das kannst du natürlich umformen zu

x^{2} < lim_{n \to \infty} ((2 n + 3) \cdot (2 n + 2))

und das sollte nun nicht mehr so schwer sein, oder ;-)

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23:35 Uhr, 31.05.2020

Hmmm,

ich glaube du musst verstehen was man dabei macht, also wenn der

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1

ist konvergiert die Reihe, also deine erste Gleichung war denke ich schon richtig, aber was bedeutet denn der

lim_{n \to \infty} | \frac{x^{2}}{(2 n + 2) \cdot (2 n + 3)} |

Roman-22

23:37 Uhr, 31.05.2020

>

aber was bedeutet denn der limn→∞|x2(2n+2)⋅(2n+3)|?
Siehe meine Antwort oben.
Günstiger, gleich die Formel für den Konvergenzradius zu benutzen

JaBaa aktiv_icon

23:41 Uhr, 31.05.2020

Hi Roman,

ich habe es auch genauso gelernt, könntest du mir erklären was sie Falsch gemacht hat wenn sie wissen will für welche

x

diese Reihe konvergiert ?

JaBaa aktiv_icon

00:09 Uhr, 01.06.2020

Ich habe nachgeschaut man muss das

x

nicht in die Folgenglieder mit aufnehmen, aber ich meine man kann sie aber mit aufnehmen, dann muss man es aber nach

x

Umstellen umzu erkennen für welche

x

die Reihe konvergiert (also den Konvergenzradius bestimmen). So habe ich es auch immer gemacht. Hoffentlich schreibe ich hierkeinen stuss, wenn ja bitte korrigieren :-)

Roman-22

01:48 Uhr, 01.06.2020

Ich habe meine Antworten oben noch ergänzt/geändert.

>

Ich habe nachgeschaut man muss das

x

nicht in die Folgenglieder mit aufnehmen, aber ich meine man kann sie aber mit aufnehmen,
Man muss unterscheiden:
Verwendest du das Quotientenkriterium, dann musst du das

x

natürlich mitnehmen und feststellen, für welche

x

der Grenzwert kleiner 1 ist
Verwendest du die Formel für den Konvergnezradius direkt, darfst du das

x

nicht mit dazu nehmen.

anonymous

08:38 Uhr, 01.06.2020

Hallo
Verzeiht, dass ich mich einmische.
Jetzt ist so viel geschrieben worden, dass ich befürchte, dass die simpelstes Aussage ein wenig unterging, und HAIOO vielleicht mehr verwirrt denn beholfen sein könnte.

HAIOO,
deine Frage war:
"dann komme ich auf

\frac{x^{2}}{2} (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n + 3})

"
Da sollte man eigentlich sehr leicht erkennen, dass die Brüche gegen Null gehen:

\frac{x^{2}}{2} (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n + 3}) = \frac{x^{2}}{2} \cdot (0 + 0) = 0

anonymous

09:34 Uhr, 01.06.2020

Da man hier im onlinemathe auch sehr geübt wird, hellzusehen, wage ich darüber hinaus zu ahnen, dass dir auch noch (mindestens) ein Fehlerchen unterlaufen ist.

Ich darf mal die ganze Herleitung in meine Worte fassen:

Quotientenkriterium:

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot x^{2 \cdot (n + 1) + 1}}{(2 \cdot (n + 1) + 1)!} \cdot \frac{(2 n + 1)!}{{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 \cdot n + 1}}

= lim \frac{(- 1) \cdot {(- 1)}^{n} \cdot x^{2 \cdot n + 3}}{(2 n + 3)!} \cdot \frac{(2 n + 1)!}{{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 \cdot n + 1}}

= lim (- 1) \cdot \frac{x^{2} \cdot x^{2 \cdot n + 1}}{(2 n + 3) \cdot (2 n + 2) \cdot (2 n + 1)!} \cdot \frac{(2 n + 1)!}{x^{2 \cdot n + 1}}

= lim (- 1) \cdot \frac{x^{2}}{(2 n + 3) \cdot (2 n + 2)}

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot lim \frac{1}{(2 n + 3) \cdot (n + 1)}

a)

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot [lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n + 3} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1}]

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot [0 \cdot 0] = 0

b)

Ich ahne, du hattest vielleicht eine Partialbruchzerlegung versucht - (die dann wohl offensichtlich misslungen sein dürfte).
mit Partialbruchzerlegung käme dann (natürlich nichts anderes) heraus:

. .

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot lim \frac{1}{(2 n + 3) \cdot (n + 1)}

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot lim [\frac{1}{n + 1} - \frac{2}{2 n + 3}]

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot [lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} - lim_{n \to \infty} \frac{2}{2 n + 3}]

= - \frac{x^{2}}{2} \cdot [0 - 0] = 0

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11:57 Uhr, 01.06.2020

Danke für die vielen Antworten!

Eine Frage hätte ich dann noch. Man weiß ja nur, dass

\frac{1}{n} = 0

für n geht gegen unendlich. Darf ich dann daraus automatisch schließen, dass der Bruch

\frac{1}{(2 n + 3) (n + 1)}

gegen 0 konvergiert? Oder ist das mathematisch nicht ganz korrekt?

Mathe45

12:09 Uhr, 01.06.2020

Findest du folgende Aussage "mathematisch korrekt" ?
Wenn

n

gegen

\infty

geht, dann geht auch

(2 \cdot n + 2) \cdot (2 \cdot n + 3)

gegen

\infty

.

Was nun "schneller" gegen

\infty

geht ist hier irrelevant, es könnte aber bei anderen Beispielen wichtig sein.

Und beachte beim Quotientenkriterium den Betrag, also

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

anonymous

12:49 Uhr, 01.06.2020

"Man weiß ja nur, dass

\frac{1}{n} = 0

für

n

geht gegen unendlich."

Nein, das Beispiel

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

ist nur das klassische Schulbeispiel.
Aber es gibt kein "NUR".
Im Gegenteil, aus diesem Wissen

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

lassen sich noch sehr, sehr viele Beispiele und Ableitungen ableiten,
um nur eine winzig kleine Auswahl vor Augen zu führen:

lim_{m \to \infty} \frac{1}{m + 1} = 0

lim_{p \to \infty} \frac{1}{p - 2} = 0

lim_{q \to \infty} \frac{1}{\sqrt{q}} = 0

lim_{r \to \infty} \frac{1}{r^{2}} = 0

lim_{s \to \infty} \frac{1}{s^{2} - 7 \cdot s} = 0

"Darf ich dann daraus automatisch schließen, dass der Bruch

lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2 n + 3) \cdot (n + 1)}

gegen 0 konvergiert?"
Ein bisschen Übung, Verständnis und Studium wird dich lehren, diese Frage mit einem klaren
JA
zu beantworten.

Es ist sogar so, dass dadurch dass dein

n

im Nenner praktisch quadratisch wächst, dieses dein Beispiel

lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2 n + 3) \cdot (n + 1)}

'schneller' oder 'deutlicher' gegen 0 tendiert, als das klassische Schulbeispiel

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Aber wie Mathe45 schon sagt, kommt es gar nicht so sehr auf die 'Schnelligkeit', 'Geschwindigkeit' oder 'Deutlichkeit' drauf an.
Egal wie schnell, wie deutlich oder wie augenfällig der Nenner gegen Unendlich geht, es gilt stets:
Wenn der Zähler eine Konstante ist, und der Nenner gegen Unendlich geht, dann geht der Bruch gegen Null.
In Formeln:
Wenn

lim f (x) \to

Unendlich, dann:

lim_{f (x) \to \infty} \frac{c}{f (x)} = c \cdot lim_{f (x) \to \infty} \frac{1}{f (x)} = 0

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09:40 Uhr, 02.06.2020

Ok, danke!

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