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Sinus- Kosinussatz

Schüler

Tags: rechenaufgabe

TG-89 aktiv_icon

17:22 Uhr, 10.02.2012

Hallo Leute bin ganz neu hier. Und hab ein Problem mit der Folgenden Textaufgabe:

Zwei Orte A und

B

liegen auf dem selben Längengrad. Ein Satellit überfliegt in unbekannter Höhe diesen Längengrad und wird unter folgenden Erhebungswinkel gesehen:
-von A aus in nördlicher Richtung unter

42

grad
-von

B

aus in südlicher Richtung unter

61

grad
Der Ort A liegt 31grad und

20

Minuten nördlicher Breite, der Ort

B 60

grad und 10minuten nördlicher Breite. Berechnen sie den Abstand des Körpers von der Erdoberfläche.(r=6370km)

Zu der Aufgabe habe ich auch die Lösung bekommen(leider nur die Lösung und nicht den Weg). Es soll rauskommen:3231,850km
Nur wenn ich die Aufgabe rechne kommt immer 1904,88km raus. Und bin mir auch recht sicher das meine Rechnung stimmt.

Könnte die Aufgabe mal jemand nachrechnen. Und mir sein Ergebnis mitteilen. Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Edddi aktiv_icon

20:50 Uhr, 10.02.2012

...mit ein paar Rundungen durch die Anwendung mehrmaliger Sinus- und Kosinussätze

komm' ich auf

3256 k m

;-)

Edddi aktiv_icon

21:53 Uhr, 10.02.2012

...mach dir 'ne Skizze:

Kreisbogen (stellt den Längsgrad dar)

Verbindungslinie Mittelpunkt

M

der Erde mit Ort A auf

31 \frac{1}{3}

° Nord (ist ja

R)

Verbindungslinie Mittelpunkt

M

der Erde mit Ort

B

auf

60 \frac{1}{6}

° Nord (ist ja

R)

Nun skizziere von A im Winkel von

42

° in nördlicher Tangential an die Oberfläche eine Gerade.

Nun von

B

in südlicher Richtung eine Gerade tangential im Winkel von

61

°

Der Schnittpunkt beider Geraden ist Punkt

S

(Standort Satellit)

Nun berechnen wir erstmal die direkte Verbindung zwischen A und

B

(Strecke

x)

x^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 \cdot R \cdot R \cdot cos (28 \frac{5}{6})

wobei der Winkel

28 \frac{5}{6}

aus der Differenz der Breitengrade für A und

B

herrührt .

x^{2} = 2 \cdot R^{2} \cdot (1 - cos (28 \frac{5}{6})) = 2 \cdot 6370^{2} \cdot (1 - 0,876) = 100630781,2

x = 3172,234

Nun berechnen wir Winkel

φ =

Winkel MAB oder MBA über den Sinussatz:

\frac{R}{sin (φ)} = \frac{x}{sin (28 \frac{5}{6})}

sin (φ) = \frac{R}{x} \cdot sin (28 \frac{5}{6}) = \frac{6370}{3172,234} \cdot 0,4822 = 0,9684

φ = 75,53

°

Damit erhalten wir dann für Winkel BAS

= ψ,

da ja der Winkel von

42

° tagential gemessen wurde:

MAS

= 90

+ 42

= 132

= φ + ψ = 75,53

+ ψ

ψ = 132

- 75,53

°=

56,47

°

Analog berechne ich Winkel ABS

= θ

MBS

= 90

+ 61

= 151

= φ + θ = 75,53

+ θ

θ = 151

- 75,53

°=

75,47

°

Nun lässt sich mit

ψ

und

θ

noch der Winkel ASB

= γ

berechnen

γ = 180

- ψ - θ = 180

- 56,47

°-

75,47

° = 48,06°

Nun können wir endlich die Strecke

l = \bar{A S}

mittels Sinussatz berechnen:

\frac{x}{sin (48,06)} = \frac{l}{sin (75,47)}

l = x \cdot \frac{sin (75,47)}{sin (48,06)} = 3172,234 \cdot \frac{0,968}{0,7438} = 4128,425

Nun nur noch mittels Kosinussatz die Strecke

\bar{M S}

berechnet:

{\bar{M S}}^{2} = R^{2} + l^{2} - 2 \cdot R \cdot l \cdot cos (132)

{\bar{M S}}^{2} = 6370^{2} + {4128,425}^{2} - 2 \cdot 6370 \cdot 4128,425 \cdot (- 0,669)

{\bar{M S}}^{2} = 6370^{2} + {4128,425}^{2} - 2 \cdot 6370 \cdot 4128,425 \cdot (- 0,669)

\bar{M S} = 9633,67

Davon mur noch

R

abziehen, um die Höhe des Satelliten über der Erde zu bekommen:

h = \bar{M S} - R = 9633,67 - 6370 = 3263,67

...so, eigentlich sollte diese rechnung genauer sein wie obige, hat sich aber mehr vobn deoinem vorgegebenen Ergebnis entfernt.

Entweder hab' ich irgendwo einen winzigen Fehler, oder dein Ergebniss ist so ungenau.

Aber die Kontrolle überlass' ich dir, ich hab schon genug getippst.

;-)

TG-89 aktiv_icon

23:51 Uhr, 10.02.2012

Erstmal riesigen Dank, Du hast mir echt weiter geholfen. Mein Problem lang bei den beiden Winkel

(42

und

61)

ich hab es nicht bemerkt das die nur tangential berühren. Und schon passte der Rest nicht mehr.Vielen Dank nochmal.

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