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Sinus mal Kosinus herleiten mit komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: hallo alle zusammen

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12:47 Uhr, 05.02.2019

Hallo^^,
ich wollte fragen ist das möglich die Beziehung

sin (x) \cdot cos (x) =

0,5cos(2x) mit komplexen Zahlen herzuleiten?
Also ich dachte mir:
1. cos(x)=-sin(x-90°)
2. sin(x)*cos(x)=(sin(x))*(-sin(x-90°))
3. e^(xj))*(-e^(x-90°)j)
4. -e^(2x-90°)j
Ich glaube bis hier ist es richtig und dann wollte ich es in sinus umwandeln:
5. -e^(2x-90°)j=> -sin(2x-90°)=>

cos (2 x)

cos (2 x)

ist nicht 0,5cos(2x).
Durft ich den Schritt Nr. 5 nicht machen oder

... ...

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

13:10 Uhr, 05.02.2019

Du meinst wahrscheinlich

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

Also wenn es mit komplexen Zahlen sein soll, könntest du so anfangen:

e^{i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

e^{- i \cdot x} = cos (x) - i \cdot sin (x)

\Rightarrow

sin (x) = \frac{e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}}{2 \cdot i}

cos (x) = \frac{e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x}}{2}

sin (x) \cdot cos (x) = . .

godzilla12 aktiv_icon

13:48 Uhr, 05.02.2019

Ist doch easy; die Uhubeziehung - äh Eulerbeziehung

e^{i x} = cos x + i sin x (1 a)

Aus Euler folgt der sog. Satz von Moivre, wenn du

2 x

einsetzt statt

x

e^{2 i x} = cos 2 x + i sin 2 x (1 b)

e^{i x} = cos x + i sin x |

(1 a)

e^{2 i x} =

cos²

x -

sin²

x + 2 i sin x cos x (2)

Die beiden Additionstheoreme folgen dann durch Koeffizientenvergleich zwischen

(1 b)

und

(2)

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14:02 Uhr, 05.02.2019

Erst einmal Danke Respon für den Tipp und die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt:

sin (x) \cdot cos (x) =

((e^(jx)-e^(-jx))/2j)*((e^(jx)+e^(-jx))/2)

sin (x) \cdot cos (x) =

(e^(2jx)-e^(-2jx))/4j

sin (x) \cdot cos (x) =

(cos(2x)+jsin(2x)-cos(-2x)+jsin(-2x))/4j

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{cos (2 x)}{2 j}

Ok das ist ja auch falsch, was habe ich falsch gemacht?

Respon

19:05 Uhr, 05.02.2019

Die zu beweisende Identität heißt

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

(sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot cos (2 \cdot x)

wäre eine Gleichung mit bestimmten Lösungswerten. )

sin (x) = \frac{e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}}{2 \cdot i}

cos (x) = \frac{e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x}}{2}

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}}{2 \cdot i} \cdot \frac{e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x}}{2} = \frac{e^{i \cdot 2 \cdot x} - e^{- i \cdot 2 \cdot x}}{4 \cdot i} = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{i \cdot 2 \cdot x} - e^{- i \cdot 2 \cdot x}}{2 \cdot i} = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

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