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Sinus und Cosinus bei komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Goone aktiv_icon

20:22 Uhr, 15.12.2011

Hallo Leute,

habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für

z, w \in ℂ

und

t \in ℝ

gilt:

| e^{i \cdot t} - 1 | = 2 | sin (\frac{t}{2}) |

Bekannt sind mir folgende Dinge:

sin (z) = \frac{1}{2 i} \cdot (e^{i \cdot z} - e^{- i \cdot z})

cos (z) = \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot z} + e^{- i \cdot z})

sin (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \frac{z^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

cos (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \frac{z^{2 k}}{(2 k)!}

Ich habe als Tipp bekommen, dass ich

| e^{i \cdot t} - 1 |

umschreiben soll in Wurzel aus Realteil davon zum Quadrat

+

Imaginärteil zum Quadrat. Sprich den Betrag davon eben ziehen soll. Was bringt mir das aber? Und was ist hierbei Real- bzw. Imaginärteil?

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Yokozuna aktiv_icon

00:01 Uhr, 16.12.2011

Hallo,

es ist

e^{i \cdot t} = cos (t) + i \cdot sin (t) \Rightarrow

e^{i \cdot t} - 1 = cos (t) + i \cdot sin (t) - 1 = (cos (t) - 1) + i \cdot sin (t) \Rightarrow

Re(

e^{i \cdot t} - 1) = cos (t) - 1

und Im(

e^{i \cdot t} - 1) = sin (t) \Rightarrow

| e^{i \cdot t} - 1 | = \sqrt{{(cos (t) - 1)}^{2} + {sin}^{2} (t)} = \sqrt{{cos}^{2} (t) - 2 \cdot cos (t) + 1 + {sin}^{2} (t)} \Rightarrow

(wegen

{sin}^{2} (t) + {cos}^{2} (t) = 1)

| e^{i \cdot t} - 1 | = \sqrt{2 - 2 \cdot cos (t)} = \sqrt{2 \cdot (1 - cos (t))}

Nun gibt es die bekannte Beziehung für den Kosinus des doppelten Winkels:

cos (2 x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x) = 1 - {sin}^{2} (x) - {sin}^{2} (x) = 1 - 2 \cdot {sin}^{2} (x)

(wegen

{cos}^{2} (x) = 1 - {sin}^{2} (x))

Setzen wir

t = 2 x,

dann erhalten wir:

cos (t) = 1 - 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{t}{2}) \Rightarrow 1 - cos (t) = 1 - (1 - 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{t}{2})) = 1 - 1 + 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{t}{2}) = 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{t}{2})

Das ergibt oben eingesetzt:

| e^{i \cdot t} - 1 | = \sqrt{2 \cdot (1 - cos (t))} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{t}{2})} = 2 \cdot | sin (\frac{t}{2}) |

Viele Grüße
Yokozuna

Gerd30.1 aktiv_icon

08:39 Uhr, 16.12.2011

| e^{i t} - 1 | = | cos t + i sin t - 1 | = | cos t - 1 + i sin t | = \sqrt{{(cos t - 1)}^{2} + {sin}^{2} t} =

\sqrt{{cos}^{2} t - 2 cos t + 1 + {sin}^{2} t} = \sqrt{2 - 2 cos t} = 2 \cdot \sqrt{\frac{1 - cos t}{2}} = 2 \cdot | sin (\frac{t}{2}) |

Bummerang

09:28 Uhr, 16.12.2011

Hallo gerdware,

warum mehr als 8 Stunden nach der Lösung mit allen notwendigen Erklärungen diese Kurzfassung mit diversen Fehlern in der Darstellung? Warum...?

Gerd30.1 aktiv_icon

10:17 Uhr, 16.12.2011

@ Bummerang

ok, hab die Lösung von Y. übersehen. Aber wo sind die Fehler in meiner Darstellung?

Bummerang

10:28 Uhr, 16.12.2011

Hallo,

nachdem Du sie beseitigt hast, sind sie natürlich weg! Es fehlte eine öffnende Klammer im Sinus, so daß die schließende Klammer ziemlich einsam stand und die Halben sich nicht auf das Argument des Sinus sondern auf den gesamten Sinus bezogen hat. Ansonsten:

"ok, hab die Lösung von Y. übersehen"

Klar, sie ist ja auch so klein dargestellt...

Goone aktiv_icon

14:49 Uhr, 18.12.2011

Habs verstanden, danke sehr!

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