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Sinus und Kosinus mit Additionstheoreme berechnen

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Funktionen

Tags: Funktion

birdbox

20:42 Uhr, 04.12.2016

Hallo ich soll mithilfe der Additionstheoreme den exakten Wert von

s i n (\frac{π}{3})

und

c o s (\frac{π}{3})

berechnen.

Unsere Additionstheoreme sehen wie folgt aus:

\cos (x + y) = \cos (x) \cdot \cos (y) - \sin (x) \cdot \sin (y)

\sin (x + y) = \cos (x) \cdot \sin (y) + \sin (x) \cdot \cos (y)

Was wir noch definiert haben ist:

\cos (\frac{π}{2}) = 0

\sin (\frac{π}{2}) = 1

\cos (x + 2 π) = \cos (x)

und

\sin (x + 2 π) = \sin (x)

Das wars dann auch schon, wie kann ich denn nun bitte mithilfe der Additionstheoreme zB

s i n (\frac{π}{3})

berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

abakus

20:56 Uhr, 04.12.2016

Wenn wirklich NICHTS WEITER bekannt ist, musst du aus den Additionstheoremen die Doppelwinkelformeln herleiten (sin(2x)=sin(x+x)=...) und daraus die Dreifachwinkelformel ableiten (sin(3x)=sin(2x+x)=...).
Verwende die Doppelwinklformeln, um durch deren Umkehr aus den bekannten Werten für 2pi die Werte für sin(pi) und cos(pi) zu berechnen.
Kehre dann die Dreifachformel um, damit du aus dem Sinus von 3*(pi/3) den Sinus von pi/3 berechnen kannst.

rundblick aktiv_icon

21:28 Uhr, 04.12.2016

.
aus den Additionstheoremen bekommst du sofort die Formeln für

sin (2 α)

und

cos (2 α)

und daraus dann durch erneute Anwendung zB für

sin (2 α + α) \Rightarrow

sin (3 α) = 3 \cdot sin (α) - 4 \cdot {sin}^{3} (α)

setze da nun für

\to α = \frac{π}{3}

\Rightarrow 0 = 3 \cdot sin (\frac{π}{3}) - 4 \cdot {sin}^{3} (\frac{π}{3})

\Rightarrow 0 = [3 - 4 \cdot {sin}^{2} (\frac{π}{3})] \cdot sin (\frac{π}{3})

und da

sin (\frac{π}{3}) \neq 0 .

. muss also gelten

{sin}^{2} (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4}

\Rightarrow sin (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}

ok?

mach nun selbst eigene Überlegungen um den genauen Wert von

cos (\frac{π}{3})

sofort zu bekommen

PS leider sehe ich jetzt erst, dass der gleiche Vorschlag schon längst gemacht wurde; sorry

.

abakus

21:48 Uhr, 04.12.2016

@Rundblick

Kein Problem,
jeder jeder ist hier gleich eingeschnappt...

birdbox

23:05 Uhr, 04.12.2016

Wow vielen Dank für eure Antworten.

Leider steck ich nun beim cos.

- 1 = 4 \cdot \cos^{3} (\frac{π}{3}) - 3 \cdot \cos (\frac{π}{3}) \overset{}{\Leftrightarrow}

- 1 = \cos (\frac{π}{3}) \cdot (- 3 + 4 \cdot \cos^{2} (\frac{π}{3}))

Leider bringt mir das hier nicht viel, wahrscheinlich muss man eine andere Strategie einschlagen??

Ich muss dasselbe dann auch noch für

\frac{π}{5}

und

\frac{π}{6}

machen, geht man da gleich vor? Also leitet man sich dann wirklich die Formel

\cos (5 x)

bzw.

\sin (5 x)

her?

Roman-22

04:08 Uhr, 05.12.2016

>

Also leitet man sich dann wirklich die Formel

cos (5 x)

bzw.

sin (5 x)

her?
Naja, etwas einfacher ist der Weg übers Komplexe, aber wenn dir der nicht zur Verfügung steht oder explizit der Weg über die Additionstheoreme vorgeschrieben ist, wird dir wohl nichts anderes übrig bleiben. So schwer und aufwändig ist das aber gar nicht. Siehe zB

\to

mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi5.html

birdbox

21:45 Uhr, 05.12.2016

Alles klar, vielen Dank euch!!!!

tiegert aktiv_icon

17:41 Uhr, 21.11.2017

wie kann man den Term:

3 \cdot sin (\frac{π}{3}) - 4 \cdot {sin}^{3} (\frac{π}{3})

hier einfach 0 setzen??

Edit: grad nochmals überdacht und draufgekommen wenn die Formel equivalent zu

sin (3 \cdot \frac{π}{3})

ist und der Sinus von

π

gleich null ist, ist der Term umgeformt ja natürlich immer noch 0.

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