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Skalarprodukt zweier Raumdiagonalen

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Raumdiagonale, Skalarprodukt, Würfel

Tetrismelodie aktiv_icon

11:20 Uhr, 17.05.2016

Hallo Leute,

ich habe folgendes Problem:

gegeben ist der Würfel ABCOPQRS, der Punkt

O

liegt im Koordinatenursprung und man steht sozusagen "im" Koordinatensystem.

Jetzt soll ich den Winkel mit Hilfe der Gleichung des Skalarprodukts für die Vektoren von CP

(\vec{a})

und von BS

(\vec{b})

bestimmen.

Die Vektoren habe ich folgendermaßen bestimmt:

\vec{a} = (\begin{matrix} x \\ - y \\ z \end{matrix}); \vec{b} = (\begin{matrix} - x \\ - y \\ z \end{matrix})

Daraus ergibt sich dann für mich nach der Gleichung

cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| a | \cdot | b |}

cos α = \frac{- (x^{2}) + y^{2} + z^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

Meine Frage:
Wie mache ich jetzt weiter?
Mir würde maximal noch einfallen, die Wurzeln weiter zusammenzufassen.

Schon mal vielen Dank im Voraus.
Gruß, Tetris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Skalarprodukt
Volumen und Oberfläche eines Prismas

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ledum aktiv_icon

12:10 Uhr, 17.05.2016

Hallo
ich verstehe deine 2 Vektoren nicht, die geben doch

i . A,

keinen Würfel? die SeitenLänge muss doch gleich sein, wie kannst du da einfach

x, y, z

nehmen?
da alle Würfel ähnlich sind, ist es am einfachsten die Seitenlänge 1 zu nehmen, wenn der Würfel symmetrisch zu 0 liegt eventuell

2,

so dass alle Koordinaten vvom Betrag 1 sind.
deine Angaben einfach mit Namen sagen nichts über die Lage des Würfels im KOS. wenn 0 im Mittelpunkt liegt
gib wenigstens die Lage deiner Punkte an, ich vermute dass

x = y = z

gilt?
Gruß ledum

Tetrismelodie aktiv_icon

12:40 Uhr, 17.05.2016

Die Vektoren sollen auch einen Würfel ergeben, sondern die 2 der möglichen Diagonalen.
Die Variablen sind beliebig gewählt, man kann sie auch gerne mit 3 anderen ersetzen, allerdings sind diese so gewählt, um nochmal die Koordinaten zu veranschaulichen.
Von diskreten Werten sollte ich mich fernhalten, da dies nicht "allgemein genug" ist.

Anbei übrigens die Skizze des Würfels.

ledum aktiv_icon

13:04 Uhr, 17.05.2016

Hallo
warum nicht die Ähnlichkeit aller Würfel berücksichtigen, also

x = y = z = 1

aber es geht auch allgemein. wenn du aber einen Würfel haben willst und keinen Quader musst du etwa, wenn

B

die erste Koordinate

x

hat

B = (x, x,0)

und

S = (0,0, x)

nehmen und kannst nicht

B = (x, y,0), S = (0,0, z) x \neq y, x \neq z

nehmen wie du es anscheinend gemacht hast, ohne die Eigenschaft "Würfel" zu berücksichtigen. Am ende kürzt sich dann wie klar sein müsste

x

raus und du hast eine Zahl für den

cos

.
Gruß ledum

Roman-22

13:06 Uhr, 17.05.2016

>

Die Vektoren sollen auch einen Würfel ergeben, sondern die 2 der möglichen Diagonalen.
Vektoren ergeben eher KEINEN Würfel.
Trotzdem sind wir uns doch hoffentlich einig, dass ein Würfel

12

gleichlange Kanten hat, oder?

Leider gibst du ja nicht an, wie du deine Punkte ins Koordinatensystem gelegt hast. (die Skizze hast du erst später nachgereicht). Deinen bisherigen Ausführungen hast du (abgesehen vom Ursprung) drei Eckpunkte des Würfels auf je eine Koordinatenachse gelegt und deren von 0 verschiedene Koordinate jeweils

x, y

und

z

genannt. Das ist aus zwei Gründen nicht sehr schlau. Erstens, weil die Bezeichner

x, y

und

z

für variable Koordinaten vorbehalten sein sollten. Vor allem aber, und darauf wollte ledum dich hinweisen, müssen diese Koordinaten doch alle gleich sein, zB

a

. Also etwa

A (a / 0 / 0), C (0 / a / 0), P (a / 0 / a),

etc.

Setze also in deinem Ausdruck

x, y

und

z

alle auf den gleichen Wert (du kannst oBdA auch 1 nehmen) oder wenigsten auf die gleiche Variable

a

. Dieses a solltest du dann rauskürzen können und übrig bleibt ein Zahlenwert, mithilfe dessen du den gesuchten Winkel berechnen kannst.
Dieser Winkel ist natürlich bei allen Würfeln der gleiche, egal wie groß der Würfel ist. Deshalb hat ledum vorgeschlagen, dass du der Einfachheit halber gleich die Seitenlänge mit 1 annehmne kannst, wenn es bei der Aufgabe nur um die Winkel geht.

R

EDIT: Sehe gerade, dass ledum zwar offline war, trotzdem aber schon wieder geantwortet hat.

Tetrismelodie aktiv_icon

16:21 Uhr, 17.05.2016

Ich habe das mal jetzt nach ledums Tipp gemacht :-)

Rausgekommen sind die Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a \\ - a \\ a \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} - a \\ - a \\ a \end{matrix})

Setzt man das dann in

cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| a | \cdot | b |}

ein bekomme ich einen Wert von

cos α = \frac{1}{3}

raus und somit ein wert

α \approx

70,53°

Leider muss ich das so allgemein machen, ich fände es auch schöner, die Seitenlängen einfach zu definieren, allerdings werden uns dafür keine Punkte gegeben. Deshalb der allgemeine Weg :-)
Aber vielen Dank für die Hilfe und die Tipps :-)

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