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Sphärische Trigonometrie
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Sphärische Geometrie, Trigonometrie
 
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Ich muss am Freitag meine Facharbeit abgeben. Die arbeit hat das thema "geodäsie", nun hab ich mich dazu entschlossen die sphärische trigonometrie auch noch in ihr zu behandeln. Ich hatte mich bisher auf die ebene trigonometrie beschränkt. Ich brauche eine aufschlussreiche erläuterung dazu, wie man dreiecksseiten berechnet, wenn eine seite und die anliegenden winkel bekannt sind. Oder notfalls auch der dritte winkel bekannt ist. Etwas wirklich hilfreiches habe ich mit einer google-suche nicht gefunden. Mir wurde von anderen Lehrern auch gesagt, dass die sphärische trigonometrie zu hoch ist für eine in der 12.klasse. Nun weiß ich nicht, ob ich das noch hinkriege, den sachverhalt zu verstehen und dann in die facharbeit hineinzupacken. Für jegliche Hilfe werd ich dankbar sein. MfG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, Es gibt natürlich auch in der sphärischen Geometrie Sinus- und Kosinussätze und ähnliches, die wir Dir nennen könnten; allerdings sind die nicht wirklich "analog" zum ebenen Fall und Du müsstest das eigentlich alles erstmal ordentlich definieren und beweisen; je nach dem, wie viel Dein Lehrer verlangt, könntest Du aber natürlich ohne Beweis am Ende der Facharbeit als Ausblick "mitteilen", wie das Ganze im sphärischen aussieht, ein Beispiel kann ich gerne raussuchen und hier formulieren. Was sagst Du? |
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Ja, das wäre wirklich nett. Also ursprünglich hatte ich die sphärische Trigonometrie gar nicht eingeplant für die Facharbeit. Aber in der Zwischenbesprechung als ich meinem Lehrer meine Ansätze zeigte, meinte er dass das "zu wenig an mathematik wäre" wenn ich nur die ebene trigonometrie erläutere. Er hat zwar nicht gesagt dass er von mir verlangt dass ich die sphärische trigonometrie einbaue, aber er meinte, dass es natürlich einen auswirkung auf die wertung machen würde, ob ich die sphärische trigonometrie reinbringe oder nicht. Also von daher glaub ich nicht, dass er so hohe erwartungen wie den Beweis haben wird. Deshalb denke ich dass es ausreichen wird, wenn ich den Sachverhalt kurz Zusammenfasse, vielleicht auch anhand eines Beispeils. Ich bedanke mich für die Hilfe |
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Ich denke, die erstmal interessanteste Aussage ist, dass die Winkelsumme in sphärischen Dreieck nicht fest ist, wie im Euklidischen, sondern stets irgendwo im Intervall liegt. Dazu gibt es auch gleich ein Beispiel, aber vorher noch ein Einschub: Wenn man auf der Sphäre zwei Punkte hat und dazwischen die sphärische „Gerade“ braucht, dann benutzt man einen sogenannten Großkreisbogen – das ist der zwischen den Punkten liegende Kreisbogen (der kürzere der beiden möglichen), der entsteht, wenn man die Sphäre mit der Ebene schneidet, die vom Ursprung und den beiden Punkten aufgespannt wird. Kannst Du Dir das vorstellen? Nun zu Beispiel: Betrachte das Dreieck mit den Eckpunkten , und . Dort ist jede Seite genau ein Viertel des Einheitskreises und jeder Winkel gleich , also die Winkelsumme . |
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Das war am Anfang erläutert wird kann ich mir halbwegs vorstellen. Doch das Beispiel nicht mehr ganz. Die Schreibweise mit den 3 Ziffern in der Klammer ist mir völlig neu. Mir ist das nicht ganz klar, was sie in dem Beispiel erklären |
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Sag ruhig „Du“… Okay, dann hattet Ihr noch keine dreidimensionalen Vektoren? Die Sphäre an sich ist ja ein dreidimensionales Objekt und daher sind die Punkte auf ihr auch dreidimensional; analog zum 2D-Fall bzw. schreibt man im 3D dann bzw. . Wenn Dir das nicht so lieb ist, wären als Zusatzthema in der ebenen Geometrie vielleicht Abbildungen ganz schön, so wie Verschiebungen oder Drehungen; da kann man auch mit Dreiecken eine Menge machen. |
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Sollte ich das Thema sphärische trigonometrie nicht lieber weglassen? Oder gibt es vielleicht einen Weg, wie ich das Thema ganz kurz und knapp zusammenfassen könnte, ohne mich sehr lange daran aufzuhalten, und mir solche dinge versuchen klarzumachen? Vielleicht könnte ich ja ein paar wichtige dinge dazu sagen ohne das ganze thema wirklich genau zu erläutern? Was meinst du? Oder vllt kennst du dich ein bischen mit geodäsie aus, dann könntest du mir sagen, ob du das thema wirklich relevant findest, bei meinem Thema. Oder reicht es, wenn ich nur die ebene Trigonometrie erkläre? |
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Mit Geodäsie kenne ich mich kaum aus - passend ist es aber auf jeden Fall, da im sphärischen die erwähnten Großkreisbögen genau die geodätischen Linien sind... Kannst Du mir vielleicht kurz sagen, wie Geodäsie bei Euch definiert ist, was Ihr dabei betrachtet? Wenn Du das mit den Vektoren und sphärischen Dreiecken soweit verstanden hast, wäre es schon ein schöner Abschluss für so eine Facharbeit; ein Ausblick, der die Ebene verlässt. Was wir bisher haben, wäre auf jeden Fall schon mal eine Seite. |
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Was wir betrachten ist, wie der Mathematiker Gauß seine Vermessungen machte. Dies liegt eine lange Zeit zurück. Zu der zeit arbeitete man noch mit winkelmessungen. Deshalb muss ich erläutern wie man winkelmessungen machte, und die Dreiecksseiten anschließend berechnete. dazu muss ich die ebene bzw sphärische trigonometrie erläutern. |
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Okay, danke. Ja, dann ist sphärische Geometrie schon relevant, weil Gauß sicherlich die Erde vermessen wollte und idealisiert die Erde eben eine Kugel ist. Die Hauptidee bei der Winkelmessung im sphärischen ist, dass man sie auf die in der Ebene zurückführt, und zwar folgendermaßen: Hat man auf der Sphäre zwei Kreisbögen und den Schnittpunkt der beiden, dann legt man in diesem Punkt an die Sphäre die beiden Tangentenvektoren an, die in Richtung der beiden Kreisbögen zeigen. Jetzt bilden die beiden Tangenten eine Ebene (die selbst tangential an der Sphäre liegt), in der man jetzt den Winkel genauso berechnen kann wie im . Folgender Fakt ist dabei sicher interessant: Wenn man in der Ebene alle drei Winkel eines Dreiecks gegeben hat, sind die Seitenlängen nicht eindeutig, da man das Dreieck ja beliebig strecken kann. Im sphärischen ist es aber so, dass die Winkel die Seitenlängen eindeutig festlegen. |
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Gibt es denn keine formel für die berechnung solcher dreiecksseiten die ich angeben könnte? |
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Wenn man die Seiten und Winkel wie in der Ebene üblich bezeichnet, gilt zum Beispiel: . Also ist die Seite nur durch die drei Winkel festgelegt. Analog geht das natürlich auch mit den anderen Seiten. |
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İch glaube das hilft mir schon ein wenig weiter. Doch was ich nicht verstehe ist: für diese gleichung genügt es, alle drei winkel im dreieck zu kennen. Doch gauß arbeitete so, dass er immer eine seite des dreiecks vermaß und dann anschließend die daran anliegenden winkel vermaß. Mit diesen angaben arbeitete er dann weiter. Denn diese arbeitsweise ist eher für die formel der ebenen trigonometrie relevant. |
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Ja, darum ging es mir auch: wie gesagt ist das ein sehr wichtiger Unterschied zwischen ebener und sphärischer Geometrie. Und wenn Du einen kleinen Einblick in die sphärische Geometrie geben möchtest, wäre es deshalb sinnvoll, dies zu erwähnen. Der Punkt ist, dass die Erde durch ihren großen Radius lokal, also auf Gebieten wie meinetwegen Bundesländern, fast eben ist, sodass man dort wie im messen kann. In Wirklichkeit ist aber auch jede noch so kurze Strecke auf der Erde eigentlich ein Kreisbogen. |
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Die bisherigen informationen haben mich eigentlichen schon sehr viel weiter gebracht. Dafür möcht ich mich ganz herzlich bedanken. Jetzt muss ich das ganze noch miteinander verknüpfen und strukturiert in Worte fassen. Es wär vielleicht hilfreich, wenn du mir noch die beiden anderen formeln für sphärische trigonometrie und nennen könntest. Sonst möcht ich dir nicht noch mehr mühe bereiten :-) |
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Nein, das mache ich gerne. Du kannst ruhig noch Fragen stellen. Ganz „analog“ gelten: und . |
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Sehr sehr vielen Dank für die große Mühe. Bei weiteren fragen werd ich mich wieder melden. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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