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Stammfunktion: e-Funktion, Logarithmus

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: e-Funktion, Integration, Logarithmus

flowerpower1234 aktiv_icon

16:19 Uhr, 11.11.2012

Hallo Leute!

Ich hab nochmal ein Problem mit einer Stammfunktion.

Die Funktion lautet:

f (y) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot ln (5) - y}

Wenn man eine e-Funktion

f (x) = e^{k \cdot x}

hat ist die Stammfunktion

F (x) = \frac{1}{k} \cdot e^{k \cdot x}

Danach dachte ich mir:

2 \cdot ln (5)

ist eine Konstante und fällt weg, damit ist die Ableitung des Exponenten

- 1

Daraus hatte ich geschlossen

- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot ln (5) - y}

Aber das scheint nicht ganz zu stimmen...was mache ich falsch? Wie muss ich die Stammfunktion dann bilen? Danke schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

michael777 aktiv_icon

16:43 Uhr, 11.11.2012

schreibe die Funktion vorher um:

f (x) = \frac{1}{2} e^{2 ln 5 - x} = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 ln 5} \cdot e^{- x}) = \frac{1}{2} \cdot {(e^{ln 5})}^{2} \cdot e^{- x} = \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot e^{- x} = \frac{25}{2} e^{- x}

F (x) = - \frac{25}{2} e^{- x}

die von dir genannte Regel ist ein Sonderfall der Integration per Subsitution, die sog. lineare Substitution
sie gilt nur wenn statt

x

ein konstanter Faktor, der mit

x

multipliziert wird also

k \cdot x

in der Funktion vorkommt, aber nicht bei komplizierteren Ausdrücken

(z . B

. Summe oder Differenz)

mittels Integration per Substitution könntest du die Aufgabe ohne vorheriges Umformen lösen, substituiert wird dann wie folgt:
u=2ln

5 - x

\frac{d u}{d x} = - 1

und somit

d x = - d u

flowerpower1234 aktiv_icon

17:30 Uhr, 11.11.2012

Danke erstmal für die ausführliche Antowort.

Aber kannst du mir sagen warum (e^(ln(5)))^2=5^2....ich weiß, dass da eine Grunlage ist, aber ich arbeite mich gerade erst in das Thema ein.

michael777 aktiv_icon

17:38 Uhr, 11.11.2012

der

ln

ist die Umkehrfunktion der e-Funktion
deshalb gilt

e^{ln x} = x

oder

{ln e}^{x} = x \cdot ln e = x \cdot 1 = x

ausserdem gilt das Potenzgesetz

{(a^{m})}^{n} = {(a^{n})}^{m} = a^{m \cdot n}

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