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Stehende Welle - Sinus - Kosinus Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Trigonometrie

darmstadt2311 aktiv_icon

17:03 Uhr, 15.11.2014

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiter komme...

"Eine stehende Welle in einem Kasten der Länge

L

ist eine Funtkion

f (x)

mit

f (0) = 0 =

f(L)."

Sind

f (x), g (x)

stehende Wellen und a und

b

Konstanten, so ist auch

a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

wieder eine stehende Welle."

So ich hab mir nun gedacht, da die stehende Welle ja bei

f (0) = 0

ist, kann lediglich die Sinusfunktion in Frage kommen.

Bin dann nach langer sucherei im Internet auch auf etwas ähnliches gekommen und zwar:

für

x = 0

gilt dann nämlich:

A \cdot sin (k \cdot 0) + B \cdot cos (k \cdot 0)

das ergibt dann

A \cdot 0 + B \cdot 1

und damit die Gleichung erfüllt ist, muss

B

auch gleich Null sein.

Also erhalte ich wie gesagt am Ende

= A \cdot sin (k \cdot x)

wobei

k

eine Variable (für Leute mit Chemiehintergrund, die Wellenzahl ist)

Ist das so akzeptabel? Ich hab das nämlich wie gesagt, lediglich im Internet nachgelesen, aber kann mir selber darüber nicht wirklich eine Meinung bilden. Hat jemand vielleicht eine Erklärung, Anmerkung oder einen komplett anderen Lösungsweg für dieses "Problem"?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

17:24 Uhr, 15.11.2014

Hallo,

was dein "Problem" ist, hast du nicht wirklich erläutert. (Impliziert: Was ist dein Problem?)

Ganz oben sprichst du von Aufgabe. Sollte es dazu eine Originalaufgabenstellung in gedruckter Form geben, so ist hier das Anhängen des Scans derselben sehr erwünscht, um eben solche Nachfragen zu vermeiden.

Mfg Michael

darmstadt2311 aktiv_icon

01:18 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

Leider ist es mir nicht möglich, einen entsprechenden Screenshot meiner Aufgabe zu machen, aber ich kann diese gerne nochmal in voller Länge Zitieren.

""Eine stehende Welle in einem Kasten der Länge

L

ist eine Funktion

f (x)

mit

f (0) = 0 =

f(L)."

Teil

a :

" Rechnen sie nach: sind

f (x), g (x)

stehende Wellen und

a, b

Konstanten, so ist auch

a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

wieder eine stehende Welle."

Teil

b

wäre zusätzlich noch: " Für welche Werte von

λ > 0

ist eine Funktion

sin (\frac{x}{λ})

eine stehende Welle? Für welche ist

cos (\frac{x}{λ})

eine?warum?"

Wenn jemand zusätzlich noch zum Teil

B

etwas weiß, darf er mir gerne etwas auf die Sprünge helfen. Glaube dort muss die sinus Funktion nach

λ

umgestellt werden und das

λ

berechnet werden...

Vielen dank schonmal

michaL aktiv_icon

08:26 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

ah, den Operator "Rechnen Sie nach" hattest du unterschlagen.
So, wie es bei deinem OP klang, hätte das auch eine Info sein können.

Was ist zu tun?
Nun, besser als in der Aufgabenstellung kann ich es auch nicht ausdrücken, ohne gleich die Lösung vorwegzunehmen.

Seien

f (x)

und

g (x)

stehende Wellen. (Was heißt das nochmal?)
Zeige, dass dann die Funktion mit

h (x) = a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

stehende Wellen sind! (Welche Eigenschaft muss

h

haben, um sich stehende Welle zu nennen?)

Mathe für Nebenfächler, oder? (Bei Hauptfächlern hätte die Aufgabe vermutlich gelautet: Zeigen Sie, dass die Menge aller stehenden Wellen bzgl Addition und Multiplikation mit einer Konstanten einen Vektorraum bilden.)

Mfg Michael

darmstadt2311 aktiv_icon

12:00 Uhr, 16.11.2014

Hallo Michael,

oh tut mir leid, dass ich mich zu Anfang dann nicht 100%-ig klar ausgedruckt habe. Ich habe Mathe als Hauptfach aber es nennt sich "Mathematik für Chemiker". Also eher eine abgespeckte Variante...

Eine stehende Welle ist ja dadurch gekennzeichnet, dass wenn man sie spiegelt, sie den selben Weg zurück nimmt (am Beispiel von der Welle im Kasten)

So zudem muss die stehende Welle am Rand des Kastens, links und rechts null sein.

So angenommen ich gehe mal von einer Sinus und einer Cosinus Funktion aus, dann würde ich es so formulieren:

h (x) = a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

x = 0

h (0) = a \cdot f (0) + b \cdot g (0)

h (0) = a \cdot sin (k \cdot 0) + b \cdot cos (k \cdot 0)

h (0) = a \cdot 0 + b \cdot 1

denn

cos (0) = 1

h (0) = 0

damit ja nun die Gleichung erfüllt ist, muss

b = 0

sein

damit wäre

h (x) = a \cdot sin (k \cdot x)

und das wäre ja wieder eine stehende Welle.

Hab mir das jetzt so aus verschiedenen Büchern/Internet und ein wenig meines Wissens über trigonometrische Funktion erschlossen, weiß aber jetzt nicht, ob das so korrekt ist??

Gruß

darmstadt2311

ledum aktiv_icon

12:27 Uhr, 16.11.2014

Hallo
deine stehende Welle passt doch gar nicht in den Kasten! Wo hast du

f (L) = 0

verwendet?
Was weisst du damit über die Wellenlänge?
Es ist hier nicht gesagt, dass die Welle sin förmig sein muss, was du als einziges weissst ist dass zu JEDER Zeit

f (0) = f (L) = 0

sein muss.
eine stehende Welle muss doch was mit der Zeit zu tun haben, du beschreibst einen Momentanzustand, etwa bei

t = 0

Und

L = π

.
Es hat niemand von dir verlangt, ein explizites

f

oder

g

hinzuschreiben, sondern wenn

f, g

die Bedingungen einer stehenden Welle erfüllen, dann auch af+b*g
eine stehende Welle "steht" was meinst du damit, dass sie denselben Weg zurücknimmt? jede reflektierte Welle tut das doch?
Guß ledum

darmstadt2311 aktiv_icon

13:45 Uhr, 16.11.2014

Hallo Ledum,

ich nehme an, dass die Wellenlänge dann

L

sein muss, oder?

Und ja die Welle muss keine Sinus funktion sein, man kann mein Problem wahrscheinlich auch allgemeiner lösen, aber ich habe selbst nicht wirklich viel Ahnung davon, wie ich das angehen soll und ich habe durch recherche eben diese eine "Version" gefunden und wollte jetzt durch das Forum hier herausfinden, ob an dieser Lösung was dran ist, oder ob mir jemand dabei helfen kann, wie man es lösen kann oder es einen komplett anderen Weg gibt etc.

Da ich nicht viel Ahnung hab kann ich mir da schlecht selbst weiter helfen

: (

michaL aktiv_icon

14:20 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

bleib erst einmal ganz ruhig.
Die Sache ist ein Zweizeiler, wie man unter den Hauptfächlern so sagt (Mathe für Chemiker ist Mathe für Nebenfächler. Chemie ist eben keine Mathe.)

Also: In deiner Aufgabenstellung steht:
> Eine stehende Welle in einem Kasten der Länge

L

ist eine Funktion

f (x)

mit

f (0) = 0 = f (L)

.

Aha, also alles, was ich wissen muss.

> Rechnen sie nach: sind

f (x)

g (x)

stehende Wellen und

a

b

Konstanten, so ist auch

a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

wieder
> eine stehende Welle.

Also...was musst du nochmal nachrechnen, damit sich

a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

eine stehende Welle nennen darf?

Mfg Michael

darmstadt2311 aktiv_icon

15:41 Uhr, 16.11.2014

Hallo Michael,

Um nun zu zeigen, dass

a \cdot f (x) + b \cdot g (x)

nun auch eine stehende Welle ist, müsste ich doch für

x

nun 0 und

L

einsetzen, da dieses ja auch die Bedingungen für die einzelnen stehenden Wellen ist oder?

Gruß
Darmstadt2311

michaL aktiv_icon

15:50 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

korrekt.
Was 'rauskommen muss, hast du zwar nicht geschrieben, aber ...

Mfg Michael

darmstadt2311 aktiv_icon

16:08 Uhr, 16.11.2014

Hallo Michael,

Okay also vielleicht war die Aufgabe doch so leicht, dass ich den Sinn darin nicht wirklich verstehe oder ich liege jetzt doch voll daneben...

Wenn ich das jetzt ausrechne:

Also

x = 0

und

x = L = 0

Dann bekomme ich:

a \cdot f (0) + b \cdot g (0)

= 0

Und

a \cdot f (L) + b \cdot g (L)

= 0

Und damit wäre es dann bewiesen/gezeigt?

michaL aktiv_icon

16:27 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

> Und damit wäre es dann bewiesen/gezeigt?

Ja. Ein Zweizeiler, gell?!

Mfg Michael

darmstadt2311 aktiv_icon

17:46 Uhr, 16.11.2014

Haha ja verstehe. War wohl echt zu leicht bzw. ich hab wohl nicht direkt verstanden, worum es geht. Dachte an was viel komplexeres.

Danke nochmal :-)

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