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Steigungsproblem, was ist das?
Schüler Gymnasium,
Tags: Steigung, Steigungsproblem, Steigungswinkel
 
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Was versteht man eigentlich unter dem Steigungsproblem und wie berechnet man den Steigungswinkel? Man hat ja meistens ein Koordinatensystem mit einer Parabel und wie berechnet man daran jetzt den Steigungswinkel? Wir haben die Aufgabe -2x²+16x-2 (die Parabel ist nach unten geöffnet, also sieht aus wie ein Berg). Daraus sollen wir erstmal die Nullstellen berechnen, damit wir wissen bei welchen Zahlen die Parabel die x-Achse schneidet. Wie mache ich das jetzt? Ich hatte früher immer nur die quadratische Ergänzung und ich glaube man macht das mit der pq-Formel. Wenn ich die Nullstellen habe, muss ich herausfinden, wie steil die Parabel von der linken Nullstelle aus ist. Wie stelle ich das an? Ich habe gelesen, dass der Steigungswinkel irgendwas mit einer arctan-Taste am Taschenrechner und 45° zu tun hat, aber das verstehe ich gar nicht. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Du kannst die Nullstellen mit der quadratischen Ergänzung finden, oder mit der pq-Formel. In beiden Fällen musst Du aber darauf achten, dass der Faktor vor Eins wird. Du kannst aber auch die Mitternachtsformel verwenden: Wenn Du das dann fertig hast, dann beschreibe mal wie Du die Steigung bei der linken Nullstelle bestimmen willst. |
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Also für die Nullstellen habe ich jetzt und rausbekommen. Stimmt das erstmal? Da ich ja von der linken Nullstelle aus den Steigungswinkel bestimmen soll, ist ja sozusagen die Steigung an der Stelle gesucht und der zugehörige y-Wert dazu wäre bei mir irgendwie . Das kann doch aber nicht stimmen oder? ALso ich habe in die Funktionsgleichung eingesetzt. Dann hätte ich ja einen Punkt, durch den ich Tangente ziehen kann und dann weiß ich nicht weiter. |
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Also zunächst mal solltest Du dich nicht wundern, wenn der y-Wert an der erechneten Nullstelle der Funktion Null wird :-D) Als nächstes: versuche bitte nicht mit Dezimalbrüchen zu arbeiten, die Du dann runden musst. Verwende Brüche und ggf. Wurzeln und das Ergebnis zu beschreiben. Zur Berechnung der Steigung braucht man eigentlich die erste Ableitung. Weisst Du wie das geht? |
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Oh stimmt, das ist ja logisch ;-) Also die Ableitungsfunkiton wäre . |
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Jepp, die Ableitung passt. Wenn Du da jetzt ein Steigungsdreieck einzeichnest, mit der Seiten Länge und dann bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck. Und vielleicht erinnerst Du dich: Dann nur noch arcustangens verwenden und Du hast Deinen Winkel. |
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Muss ich jetzt nicht erstmal eine Tangente irgendwo einzeichnen? Und um rauszubekommen setze ich einfach in die Ableitungsfunktion ein, richtig? |
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Die 1 einsetzen? Wie-Wo-Was-Warum? Du errechnest als erstes den Wert der 1. Ableitung an Deiner linken Nullstelle. Vergiss bitte nicht mit dem exakten Wert Deiner Nullstelle zu rechnen und nicht etwa mit . Um es Dir ein wenig anschaulicher zu gestalten kannst natürlich auch die Tangente einzeichnen. Die Aufgabe verlangt es aber nicht. |
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Ich habe gerade gemerkt, dass ich irgendwie die pq-Formel falsch gerechnet habe. Im Internet stand, dass die x1,2= -p/2 +- die wurzel aus (p/2)² -q ist aber eigentlich muss in der wurzel ja (p/4)² stehen oder? |
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Auf jeden Fall wäre das ja x1,2= und da käme ja raus und wie soll ich aus einen bruch machen? da muss doch eine kommazahl rauskommen. |
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Erst nach dem Ausmultiplizieren entsteht im Nenner die 4: |
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ALso käme da aam ende 4 raus. daraus kann ich ja trotzdem keinen bruch machen oder? |
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Das zwar nicht, aber nimm einfach die linke Nullstelle: . |
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Ich habe das ganze jetzt nochmal an einer einfacheren Aufgabe ausprobiert wo eine Gerade Zahl herauskommt. Für die linke Nullstelle wäre das in dem Fall 2. Rechnerisch weiß ich jetzt, wie ich die Steigung herausbekomme und zwar in dem ich einfach die 2 in die Ableitungsfunktion einsetze. Aber wie das mit dem Steigungswinkel funktioniert, verstehe ich noch nicht ganz. Ich habe auch die arctan-Taste auf dem Taschenrechner noch nicht gefunden, die man ja anscheinend braucht. |
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Viele Taschenrechner haben eine "invers" Taste, so . auch der Windows TR calc.exe in der Ansicht "Wissenschaftlich" |
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Und mit der Steigung hast Du ein Rechtwinkliges Dreieck mit und y=Steigung. Der Tangens ist: |
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Ich habe einen Casio fx-85MS. Ich habe gerade mal ein bisschen gegoogelt und wenn man mit rechnet bekommt man irgendwie auch den Steigungswinkel heraus, aber wenn ich von 2 mache, dann bekomme ich 1,107148718 heraus und wie mache ich daraus den Winkel? |
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Die . ist der Winkel im Bogenmaß. wären Grad, wäre Grad, etc. Wenn Du nun . hast, dann dividiere diesen Wert . durch den Vollkreis im Bogenmaß, nämlich und Du bekommst den Anteil Deines Winkels am Vollkreis. Diesen Anteil nun mit multiplizieren und Du hast den Winkel in Grad: Grad Du kannst aber auch im TR vom Bogenmaß auf Grad umstellen und so das Ergebnis direkt vom TR in Grad ablesen. |
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Wie man von Bogenmaß auf Grad umstellt habe ich jetzt auch hinbekommen und komme auch auf 63.4°. Kann man das auch zeichnerisch lösen, anhand des Steigungsdreiecks? Und was genau ist jetzt ein Steigungswinkel? Gibt er an, in welchem Grad die Parabel steigt? |
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Das Steigungsdreieck zeichnset Du indem Du von einem Punkt eine Einheit nach rechts gehst und Steigung] Einheiten nach oben. Der Steigungswinkel ist der, den die Tangente mit der x-Achse einschliesst. |
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Die Parabel ist ja wie ein Berg nach unten geöffnet, wäre es da nicht sinnvoller erst 2 Einheiten nach oben zu gehen (Steigung) und dann 1 nach rechts, oder ist das egal? Denn wenn man erst 1 nach rechts geht, ist man ja sozusagen mit dem Steigungsdreieck in der Parabel drin. |
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Welchen Schritt Du zuerst gehst ist egal. Und richtig, wenn man zuerst einen Schritt nach rechts geht, dann ist man innerhalb der Parabel. Aber wenn man dann 2 Schritte nach oben geht ist man garantiert wieder außerhalb der Parabel, denn man zeichnet ja eine Tangente, und die schneidet nicht die Parabel, sondern berührt sie nur. |
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Okay, das habe ich jetzt verstanden. Und um nochmal zum Steigungsproblem zurückzukommen: worum genau geht es jetzt beim steigungsproblem? |
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Du solltest die Steigung berechnen, die an ihrer linken Nullstelle hat. Die linke Nullstelle ist bei . Nun musst Du dieses in die erste Ableitung einsetzen um die Steigung an dieser Stelle zu berechnen. Das Ergebnis ist dann der Tangens des Steigungswinkels. Das war das ganze Steigungsproblem kurz gefasst. |
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Also handelt es sich beim Steigungsproblem um die Berechnung der Steigung an einer Bestimmten Stelle auf der x-Achse und der darauffolgenden Berechnung des Steigungswinkels? |
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Nur in diesem Fall, weil die Steigung der Funktion an einer der Nullstellen gesucht war. Ansonsten hat jeder Punkt auf dem Graphen von seine eigene Tangente und damit seine eigene Steigung. |
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Alles klar, also vielen vielen Dank für die Hilfe und die Geduld und die tollen Erklärungen(: |
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Gern geschehen :-) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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