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Steigungswinkel der Funktion a.d. gegebenen Stelle

Schüler

Tags: Differentialquotient, Differentialrechnung, Funktion, Steigung, Steigungswinkel, Tangent

 
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iceFr3ak2000

iceFr3ak2000 aktiv_icon

18:35 Uhr, 26.08.2018

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Hallo,
Lerne gerade die Differentialrechnung und man kann beim Differentialquotient anscheinend den Steigungswinkel ausrechnen. Im Mathebuch steht das so:
-----------------------------------
- Steigung k einer Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle x0:k=f'(x0)
- Steigungswinkel α einer Funktion f an der Stelle x0:tan(α)=f'(x0)
-----------------------------------

Doch wenn ich mir ein Beispiel dazu ansehe das so ausschaut:
-----------------------------------
Ermittle den Steigungswinkel der Funktion an der angegebenen Stelle.
a)f(x)=0,3x2;x0=-1
b)f(x)=-3x3;x0=0,2
-----------------------------------

kann ich mit nicht so ganz vorstellen wie ich das ausrechnen soll.
Den Differenzenquotienten als f(x1)-f(x0)x1-x0 auszurechnen würde für mich keinen Sinn ergeben.
Wenn man das x einsetzen würde, dann kommt das falsche Ergebnis heraus:
Lösung vom obigen Besipiel: a)-30,963 °; b)-19,798 °

Kann mir jemand erklären wie ich das auszurechnen habe?
Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pivot

pivot aktiv_icon

18:50 Uhr, 26.08.2018

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Hallo,

bei a) ist die Ableitung fʹ(x)=0,6x. Somit is die Steigung bei x0=-1 gleich 0,6⋅(-1)=-0,6

Der Steigungswinkel bei x=x0 ergibt sich aus der Formel. Es ist tan(α)=Steigung an der Stelle x0

tan(α)=-0,6

Umkehrfunktion bilden

α=tan-1(-0,6)


Jetzt den Taschenrechner verwenden.

Gruß

pivot
iceFr3ak2000

iceFr3ak2000 aktiv_icon

19:15 Uhr, 26.08.2018

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Das klingt sehr logisch für mich, dankeschön.
Beim a) Beispiel hat das wunderbar geklappt doch bei b) bekomme ich ein falsches Ergebnis heraus:
f(x)=-3x3;x0=0,2
f'(x)=-9x2⇒-9x2⋅0,2=-1,82=3.24
α= arctan(3.24)
α=72,848 °

Im Lösungsbuch steht aber -19,798 °.
Wo ist der Fehler?
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pivot

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19:27 Uhr, 26.08.2018

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Das Einsetzen von x0=0,2 in die Ableitung hat nicht ganz geklappt.

fʹ(X)=-9x2. Also ist bei x0=0,2 die Steigung gleich fʹ(0,2)=-9⋅(0,2)2=-0,36

Somit ist α=arctan(-0,36)
Frage beantwortet
iceFr3ak2000

iceFr3ak2000 aktiv_icon

19:40 Uhr, 26.08.2018

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Ah ja!
Danke für die raschen und hilfreichen Antworten!!!
Antwort
pivot

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19:52 Uhr, 26.08.2018

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Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.