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Stetigkeit von Funtionen (Summen und Produkte)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Funktion, produkt, Stetigkeit, Summen

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17:44 Uhr, 07.08.2011

Ich habe anscheinend fundamentale Verständisschwierigkeiten bei Kompositionen, Produkten und Summen von Funktionen bezüglich der Stetigkeit.

Wenn

f (x)

stetig an der Stelle

x 0

und

g (x)

stetig an der Stelle

x 0 \to f (x) + g (x)

an der Stelle

x 0

auch stetig ist. Analog läuft das gleiche mit dem Produkt.

Aber wenn der Pfeil in die andere Richtung zeigt gilt es nicht mehr oder?

Also, wenn

f (x) + g (x)

an der Stelle

x 0

stetig ist folgt nicht daraus, dass

f (x)

an der Stelle

x 0

und

g (x)

an der Stelle

x 0

stetig ist. Gilt es analog für das Produkt?

Was ist wenn

f (x)

unstetig an der Stelle

x 0

und

g (x)

unstetig an der Stelle

x 0

ist

\to f (x)

(+)und(*)

g (x)

an der Stelle

x 0

auch unstetig ist. Ist diese Folgerung auch richtig? Wenn ja warum?

Gilt es auch für die andere Richtung? Also wenn der Pfeil in die andere Richtung zeigt?

Ich würde es sehr begrüßen, wenn mir jemand eine halbwegs detaillierte Erklärung hinschreiben könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Aurel

19:16 Uhr, 07.08.2011

überleg dir dazu mal, wie es mit der Stetigkeit folgender 3 Funktionen

f_{1}, f_{2}

und

f_{1} + f_{2}

aussieht:

f_{1} (x) = (\begin{matrix} 0 x < 0 \\ 1 x \geq 0 \end{matrix})

f_{2} (x) = (\begin{matrix} 1 x < 0 \\ 0 x \geq 0 \end{matrix})

Skyaya aktiv_icon

19:23 Uhr, 07.08.2011

Also, danke erstmal für die Antwort.

Ich weiß, dass

f 1

und

f 2

separat unstetig sind aber ich weiß halt nicht, wie

f 1 + f 2

aussehen würde.

Leider habe ich noch nicht einmal eine Vermutung.

: (

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19:26 Uhr, 07.08.2011

3. Aufgabe

(4

Punkte)
Seien

f : R! R

und

g : R! R

Funktionen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr,
welche sind falsch? Begreunden Sie ihre Antwort.

a) f

unstetig bei

x 0

und

g

unstetig bei

x 0 =) f \cdot g

unstetig bei

x 0,

b) f \cdot g

unstetig bei

x 0 =) f

unstetig bei

x 0

oder

g

unstetig bei

x 0

.

Das ist die Aufgabe. Ich dachte, ich nenne das Kind beim Namen.

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19:40 Uhr, 07.08.2011

Könnte es sein, dass die

f 1 (x) + f 2 (x) = 1

ist Für

R

und somit stetig?

Aurel

19:48 Uhr, 07.08.2011

f 1, f 2

sind unstetig bei

x_{0} = 0

f 1 + f 2 = 1

also eine stetige Funktion

f 1 \cdot f 2 = 0

ebenfalls eine stetige Funktion

daraus folgt für deine Frage

a :

falsch

b :

richtig, weil eine unstetige Funktion nicht das Produkt zweier stetiger Funktionen sein kann

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19:51 Uhr, 07.08.2011

Danke,

nur noch eine letzte Frage. Bis auf

B

ist alles klar. Wieso folgt daraus B?.

Gruß

Kaya

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19:54 Uhr, 07.08.2011

Alles klar,

jetzt leuchtet mir alles ein.

Aurel

19:58 Uhr, 07.08.2011

gemeint ist:

b

folgt aus: eine unstetige Funktion kann nicht das Produkt zweier stetiger Funktionen sein (weil es gilt: das Produkt zweier stetiger Funktionen ergibt eine stetige Funktion)

a folgt aus dem, was oberhalb von a steht

907141

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