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Substituierte Funktionen: Ableiten / Integrieren

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kettenregel, Rechnen, Substituieren

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20:46 Uhr, 26.01.2010

Hallo,
Beim Anwendung der Substitution zum Integrieren von Funktionen bin ich auf ein vermeintlich einfaches Problem gestoßen.

Ich möchte das an einem Beispiel verdeutlichen.

S 1 : u \cdot

du (Wobei

u

für eine Funktion

f (t)

substituiert wurde)
Also eigentlich mit

1 : u = g (u) = g (f (t))

Wieso gilt hier:

S 1 : u \cdot

= ln (u) + C

Mit anderen Worten: Wieso ist die Ableitung von

ln (u) + C

in diesem Fall

1 : u

Und nicht: (ln(u)+C)´=1:u

\cdot

f´(t)

Wieso gilt hier die Kettenregel nicht?
(Trotz offensichtlich verketteter Funktion)

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:57 Uhr, 26.01.2010

hallo,

das liegt daran dass du nach

u

ableitest und nicht nach

x . .

. besser sieht man das, wenn du dir

z . B

. das anguckst

f (x) = ln (sin x))

\frac{d f (x)}{d sin x} = \frac{1}{sin x}

hier ist

sin (x)

nicht eine innere funktion, da du ja nach

sin (x)

ableitest.

hmm.. besser kann ich das nicht erklaeren

lg

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21:20 Uhr, 26.01.2010

Hmm,
also kann man allgemein sagen:
Man kann nach allem möglichem ableiten,

z . B

. auch nach beliebigen Funktionen.
Das macht man in diesem Fall.
Und das erreicht man bei der Integration mit Substitution durch Ableitung der festgelegten "Substitutionsfunktion" und dann damit Ermitteln von du (oder

d z,

je nachdem wie man diese Variable nennt).
Das du

/ d z

am Ende des Integrals gibt die Funktion an nach der integriert wird? Und um von der jeweiligen Stammfunktion auf die Integralfunktion zurückzurechnen, muss ich wieder nach eben dieser Variablen / Funktion ableiten.

Bei deinem obigen Beispiel müsste dann konsequenterweise f(sinx) bzw df(sinx) stehen, denn sinx ist ja die "Funktionsvariable" in dem Beispiel oder?

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21:34 Uhr, 26.01.2010

jo, alles richtig was du sagst...

bis aufs letzte

man könnte das auch so schreiben

f (x) = ln (x)

dann wäre

\frac{d f (sin x)}{d sin x} = \frac{1}{sin x}

man kann ja seine funktionen so beschreiben wie man will. deshalb ist beides richtig...

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23:23 Uhr, 26.01.2010

Hmm...

Also ich habe gerade noch ein bisschen Probleme zu verstehen woher ich weiß "nach was" eigentlich integriert/abgeleitet wird.

Allgemein doch immer nach dem "x-Wert", dem Argument, einer Funktion. Oder?

Bei Integralen in der "Integralschreibweise" wird das Argument des Integranden generell angegeben mit dem "dx" am Ende. Dieses "dx" ist immer "mal

δ

Argument" der betroffenen Integrandenfunktion (dies kommt von der Def. der Integrale als Flächeninhaltsberechnung als Summe "minimale Rechtecke" - mittlerer Funktionswert

\cdot δ x)

. Von daher kann ich mir bei Integralen in dieser Schreibweise allg. sicher sein was eigentlich die "Funktionsvariable" ist.

Analog verhält es sich bei den Ableitungen mit dFunktionswert/d"Argument" (vgl Def.

y 2 - y \frac{1}{x} 2 - x 1)

Jetzt hatten wir aber gesagt, naja man kann auch nach sinx oder allem möglichen ableiten / integrieren. Was hat das jetzt zu bedeuten?

Wenn ich allg. nach allem ableite oder integriere kommt es immer darauf an wie meine Ableitungs-/Integrationsvariable, das "Argument nach dem ich ableite" mit der abgeleiteten (bzw zu integrierenden) Funktion zusammenhängt?

Wenn ich

f (t)

nach du ableite ist

f (t)

eine Konstante, die Ableitung folglich 0. (vorausgesetzt

t

und

u

sind unabhängig voneinander)
Bei Integration von

S f (t) \cdot

du folgt

f (t) \cdot S

du , da

f (t)

ebenfalls konstant ist. Weil das Argument nach dem ich integriere "u" ist. Hier habe ich wie allgemein nach dem Argument abgeleitet / integriert. Da die Funktion

f (t)

jedoch nicht von dem Argument

u

abhängt, ist

f (t)

unverändert.
Oder?

Und wie war das jetzt in Deinem vorherigem Beispiel? Haben wir den Fall betrachtet, dass wie in meinem Beispiel gerade „u von

t

abhängt“?
Ja, oder?
Also in dem Fall ist die Abhängigkeit wohl ganz simpel
f(sinx)=ln(sinx) (---u=sinx)

f (u) = ln (u) - - -

dfu/du

= \frac{1}{u}

(mit „/du“ entspricht „/dsinx“)
Aber: df(sinx)/dx = 1/sinx

\cdot sin

x = \frac{1}{sin x} \cdot cos x

Nur dass Du „u“ auch „x“ genannt hast.
Oder?

Und wie ist es Beim Substituieren:
Dort stelle ich diesen Zusammenhang bewusst her ?

Also ich führe diesen Zusammenhang bewusst ein, indem ich definiere:

u = ... = u (t)

Setze ihn dann in ursprüngliche Funktion

f (t)

passend ein . Und mache ihn mir dann zunutze um „Integrationsvariable“ bzw. „Argument“ (also: „du“) und Funktion

(f (u))

über die substituierte Variable auszudrücken und somit der Zusammenhang beider direkt ersichtlich wird (Variable

v

. Funktion und „Argument“ gleich). Dann ist „ganz normale“ Aufleitung der Funktion in Abhgkeit von

u

nach Argument (ebenfalls

u)

möglich, Kettenregel ist deshalb nicht zu berücksichtigen.

- Beispiel:

S

f´(t)

\cdot \frac{1}{s} - c \cdot f (t) \cdot d t (- - - s - c \cdot f (t) = u)

S

f´(t)

\cdot \frac{1}{u} \cdot d t

(hier Abhängigkeit zw „Integrationsvariablen „dt“

u

. Variable „u“ in der zu integrierender Funktion – siehe Festlegung)
Mit u´= du/dt = -c*f´(t) folt:

d t =

-1/C*f´(t)

\cdot

du (Zusammenhang genutzt um (über Ableitung) direkt

d t

über du auszudrücken)
Folgt:

S

f´(t)

\cdot \frac{1}{u} \cdot

-1/C*f´(t)

\cdot

du=

S \frac{1}{u} \cdot - \frac{1}{C} \cdot

= - \frac{1}{C} S \frac{1}{u} \cdot

du (Funktion in Abhängigkeit von Integrationsvariablen)

Ist das der Gesamtzusammenhang?

Was ist hier richtig, was falsch?
Habe ich etwas vergessen?

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23:42 Uhr, 26.01.2010

ist alles richtig ;-)

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18:28 Uhr, 28.01.2010

Ok, danke!
Dann noch eine kurze Frage:
Beim Integrieren bei einer Gleichung müssen anfangs immer "beide Seiten der Gleichung" nach der gleichen Variable mit den gleichen Grenzen integriert werden. Oder? Das und nur das ist dann äquivalent oder?

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19:12 Uhr, 28.01.2010

nein,

beispiel

\frac{d sin (x)}{d x} = cos (x)

d sin (x) = cos (x) d x

\int d sin (x) = \int cos (x) d x

sin (x) = sin (x)

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20:26 Uhr, 28.01.2010

Moment, wäre Dein Beispiel dann nicht so korrekt geschrieben:

dsin(x)/dx

= cos (x)

(mit Integration nach

d x

folgt: )

S

dsinx/dx

\cdot d x = S cos (x) \cdot d x

(mit

\frac{1}{d x} \cdot d x = 1

folgt: )

S

dsin(x)

= S cos (x) \cdot d x

sin (x) = sin (x)

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20:57 Uhr, 28.01.2010

geht auch...

wir kommen so langsam in einen bereich, wo auch meine mathematikkenntnisse zu ende gehen ;-)

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21:27 Uhr, 28.01.2010

Ja, also so wäre zumindest die von mir ersonnene Regel erfüllt.

Ich hätte dann gesagt die Grenzen dazu müssten dann anfangs auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein,

z . B

0; z

.
Nach wegkürzen von

d x

auf der einen Seite der Gleichung würde dann theoretisch für die Grenzen auf dieser Seite der Gleichung folgen:

sin (0); sin (z)

(da nun nicht mehr nach

d x

sondern nach dsin(x) integriert wird, folglich müssten die Grenzen angepasst werden) - wobei das in diesem Fall ja irrelevant ist da der Integrand "1" ist, also "keine Variable zum Einsetzen" vorhanden ist. Und dann direkt die Stammfunktion in Abhänigkeit von

x

gebildet wird.
Meinst Du das stimmt so?

Naja, das ist ja nicht so schlimm dass deine Kenntnisse in dem Bereich langsam zu Ende gehen..
Du hast mir auf jeden Fall schon sehr geholfen! Danke!

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21:39 Uhr, 28.01.2010

naja,

die grenzen muessen natuerlich auf beiden seiten dieselben sein (wenn man welche verwenden will/muss). da muss auch nichts angepasst werden, da

\int_{a}^{b} d sin (x) = {[sin (x)]}_{a}^{b} = sin (b) - sin (a)

und

\int_{a}^{b} cos (x) d x = {[sin (x)]}_{a}^{b} = sin (b) - sin (a)

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16:13 Uhr, 29.01.2010

Ok, stimmt...
Ich hätte in dem Fall dann eben dsinx = du gesagt. Also mit sinx=u(x) im Kopf substituiert. Dann hätte man die Grenzen als

u (x)

einsetzen müssen. Das wäre dann

u (a); u (b) = sin (a); sin (b)

gewesen. Und das wäre auch richig gewesen oder?
Da Du es aber in dem Beispiel bei

sin (x)

belassen hast müssen die Grenzen die von der Integration nach

d x

stammen (also "x-Grenzen sind") beibehalten werden. Da sie ja immer noch in der selben Abhängikeit dargestellt werden. Oder?
Die Grenzen müssen ja immer der Integrationsvariable am Ende, also dem Argument

(d x

bzw

d z

bzw...), entsprechen. Denn die Grenzen geben immer Werte von der x-Achse an, das dArgument gibt die "x-Achsen Variable" bei der Integration an.
Stimmts?

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21:11 Uhr, 29.01.2010

wuerd ich auch so sehen...

(willst du koenig der differentiale werden :-) ??)

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22:11 Uhr, 29.01.2010

Ok, schön.. Dann glaube ich das mal!

=)

Naja, König, nicht unbedingt, hehe! Ich möchte es eigentlich nur richtig verstehen..

=)

Danke für Deine Hilfe nochmal!
Schöne Grüße!

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