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Substitution einer Wurzel

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Tags: Funktion

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16:06 Uhr, 21.10.2017

Hallo liebe Forengemeinschaft,

das Thema "Substitution" ist so eines der am wenigsten gemochten Themen von mir, dennoch versuche ich mich durch das Thema zu kämpfen. Nun aber zur Frage:

Gegeben sei die Gleichung x +

\sqrt{x}

=0, die durch x = u² substituiert werden soll.

Wäre die Lösung dann: u² + u = 12?

Mich stört im Ansatz das u bzw. die Wurzel. Die Lösung von mir ist daher falsch, denn ich erhalte dann u = 0 und u = -1 bzw. x = 0² = 0 und x = (-1)² = 1. Durch Einsetzen merkt man, dass die Lösung falsch ist, aber warum? Es muss glaube ich am Wurzelzeichen liegen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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16:14 Uhr, 21.10.2017

ausklammern

\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) = 0

Satz vom Nullprodukt anwenden

. .

.

Warum schreinst du plötzlich

12

statt 0?

Respon

16:17 Uhr, 21.10.2017

Da gäbe es einige Möglichkeiten.
Ich nehme an, dass die Grundmenge

ℝ

ist

x + \sqrt{x} = 0

Damit diese Gleichung überhaupt definiert ist, muss wegen der

\sqrt{}

gelten

x \geq 0

x \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x}) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

Für die Klammer betrachten wir

x > 0

. Das sowohl

\sqrt{x}

als auch

x > 0

ist, kann dieser Term niemals 0 werden.

\Rightarrow

keine weiteren Lösungen in

ℝ

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16:37 Uhr, 21.10.2017

Die 12 habe ich versehentlich hingeschrieben, sorry.

Und was ist wenn ich die Gleichung erweiter und sage:

Gegeben sei: x +

\sqrt{x}

- 5 = 0?

Wie würde das denn dann mit Substitution aussehen, wenn ich festlege,
dass x = u², oder funktioniert das generell nicht?

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16:42 Uhr, 21.10.2017

Hier macht es Sinn:

\sqrt{x} = u

u^{2} + u - 5 = 0

PS:
Auch oben hätte man das machen können. Ist aber nicnt notwendig und aufwändiger.

tobit aktiv_icon

16:42 Uhr, 21.10.2017

Hallo zusammen!

@Respon:

Bei deinem Vorschlag fehlt der Nachweis, dass 0 tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist.
Man kann natürlich nicht einfach in der selben Gleichung "bei einem Faktor

x \neq 0

annehmen und bei einem anderen Faktor nicht".

@Fanatiker:

Dass man hier geschickter vorgehen kann, haben meine Vorredner ja schon ausgeführt.
Wenn ich dich richtig verstehe, geht es aber mehr darum, das falsche Ergebnis zu verstehen als nur in diesem speziellen Fall anders vorzugehen.

Natürlich können wir, wie von Respon schon angemerkt, die Gleichung nur für

x \geq 0

betrachten.

Nun kommt es entscheidend darauf an, was u genau sein soll.

1. Möglichkeit: Wir wählen

u = \sqrt{x}

. (*)
(Erlaubt, da

x \geq 0

.)
Es gilt dann automatisch auch

x = {\sqrt{x}}^{2} = u^{2}

.
Daher ist die Ausgangsgleichung

x + \sqrt{x}

äquivalent zu

u^{2} + u = 0

.
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn

u = 0

oder

u = - 1

, wie du korrekt ermittelt hast.
Für welche

x \geq 0

gilt nun

u = 0

oder

u = - 1

, d.h. nach (*)

\sqrt{x} = 0

oder

\sqrt{x} = - 1

?
Offenbar nur für

x = 0

;

\sqrt{x} = - 1

ist nie erfüllt.

2. Möglichkeit: Wir wählen irgendeine reelle Zahl u mit

x = u^{2}

.
(Möglich, da

x \geq 0

.)
Dann ist

\sqrt{x} = \sqrt{u^{2}} = ∣ u ∣

und die Ausgangsgleichung ist äquivalent zu

u^{2} + ∣ u ∣ = 0

(nicht etwa zu

u^{2} + u = 0

, wie von dir fälschlicherweise angenommen).
Diese Gleichung ist jedoch viel komplizierter zu lösen als die Gleichung, die wir mit der 1. Möglichkeit erhalten.
Daher empfehle ich, wenn du substituieren möchtest, Möglichkeit 1. zu wählen.

Viele Grüße
Tobias

Fanatiker aktiv_icon

17:01 Uhr, 21.10.2017

Erstmal vielen Dank für eure Lösungen, das hilft mir auf jeden Fall schonmal weiter. Ein Bekannter liefert mir nun für folgende Aufgabe die folgende Lösung:

Gegeben: x +

\ s q r t {x}

- 6 = 0

Durch Substitution mit x = u² erhält er: u² + u - 6 = 0 und die Lösung
u = 2 und u = -3 und somit die endgültige Lösung:
x = u² = 2² = 4 und x = u² = (-3)² = 9.

Eingesetzt in die Gleichung sind aber beie Lösungen falsch. Wo ist der Fehler
genau versteckt?

tobit aktiv_icon

17:12 Uhr, 21.10.2017

Die Zahl

x = 4

löst schon die Ausgangsgleichung, die Zahl

x = 9

hingegen nicht.

Es liegt der gleiche Fehler vor, den ich schon in meiner vorherigen Antwort unter der 2. Möglichkeit beschrieben habe.
Im Wesentlichen liegt er in der Fehlannahme, dass aus

x = u^{2}

bereits

u = \sqrt{x}

folge.

Das Problem kannst du letztlich einfach umgehen:
Substituiere

u = \sqrt{x}

(1. Möglichkeit aus meiner vorherigen Antwort) statt

x = u^{2}

Fanatiker aktiv_icon

17:13 Uhr, 21.10.2017

Aber warum ist das eine Fehlannahme, das habe ich noch nicht ganz verstanden.

Liebe Grüße

tobit aktiv_icon

17:20 Uhr, 21.10.2017

Gut, dass du nachfragst. :-)

Erklärung 1:

Betrachte z.B.

x = 16

und

u = - 4

.
Dann gilt zwar

x = u^{2}

, aber nicht

u = \sqrt{x}

.

Erklärung 2:

Die Gleichung

x = u^{2}

ist im Falle

x \geq 0

äquivalent zu (

u = \sqrt{x}

oder

u = - \sqrt{x}

Fanatiker aktiv_icon

17:24 Uhr, 21.10.2017

Vielen, vielen Dank für die Erklärung. Jetzt machts Sinn. Dankeschön nochmal :-)

Diese Frage ist hiermit beantwortet.

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