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Summe Quadratzahlen

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

10:33 Uhr, 12.03.2018

Hallo,

hier noch eine Variante zur Berechnung von

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + ... + k^{2}

Hab' davon schon Dutzende gesehen, aber folgenden noch nicht, darum will ich ihn hier nicht vorenthalten:

Diese Summe kann man ja auch schreiben als

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = (1) + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + ... + (1 + 3 + 5 + ... + (2 x - 1))

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = (x \cdot 1) + ((x - 1) \cdot 3) + ((x - 2) \cdot 5) + ... + (1 \cdot (2 x - 1))

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = \sum_{k = 1}^{x} (x - k + 1) \cdot (2 k - 1)

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = \sum_{k = 1}^{x} (2 k x - 2 k^{2} + 3 k - x - 1)

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = 2 x \sum_{k = 1}^{x} k - 2 \sum_{k = 1}^{x} k^{2} + 3 \sum_{k = 1}^{x} k - x \sum_{k = 1}^{x} 1 - \sum_{k = 1}^{x} 1

3 \sum_{k = 1}^{x} k^{2} = (2 x + 3) \sum_{k = 1}^{x} k - (x + 1) \sum_{k = 1}^{x} 1

3 \sum_{k = 1}^{x} k^{2} = (2 x + 3) \frac{x}{2} (x + 1) - (x + 1) x

3 \sum_{k = 1}^{x} k^{2} = (x + \frac{1}{2}) x (x + 1)

3 \sum_{k = 1}^{x} k^{2} = \frac{1}{2} (2 x + 1) x (x + 1)

\sum_{k = 1}^{x} k^{2} = \frac{1}{6} x (x + 1) (2 x + 1)

;-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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10:33 Uhr, 12.03.2018

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