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Summe aller teilerfremden Zahlen

Universität / Fachhochschule

16:09 Uhr, 18.06.2008

Hey Leute, ich hätte da noch eine Aussage, die ich beweisen soll:
Die Summe aller Zahlen

a < p,

die zu

p - 1

teilerfremd sind, ist durch

p - 1

teilerfremd.

(p

ist hier eine Primzahl) Schon mal Danke für eure Hilfe!!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

23:13 Uhr, 18.06.2008

p = 2

und

p = 3

prüft man leicht nach, sei also

p

fortan

\geq 5

und insb. ungerade
Ist a prim zu

p - 1,

so auch

(p - 1) - a

. Außerdem ist

(p - 1) - a

gewiss von a verschieden, da sonst

a = \frac{p - 1}{2} \geq 2

ein Teiler von

p - 1

wäre und gewiss nicht teilerfremd zu

p - 1

.
Folglich werden auf diese Weise die teilerfremden Zahlen zu Paaren zusammengefasst, deren Summe jeweils

p - 1

ist. Wenn hierbei

k

Paare auftreten, ist die gesuchte Summe also

= k \cdot (p - 1)

und somit durch

p - 1

teilbar (und nicht etwa teilerfremd! Du hast dich da verschrieben...)

Eigentlich haben wir nur ausgenutzt, dass

p

ungerade und

> 3

ist. Die Voraussetzung "Primzahl" war also viel zu stark, fast ein wenig irreführend.

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