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Summe der Quadrate einer Folge

Schüler

Tags: Folge, Quadrat, Summe

Silke44 aktiv_icon

09:03 Uhr, 16.03.2019

Hallo Leute,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es seien

x 1, x 2,

. . . , xn die ersten

n

Elemente einer arithmetischen Folge.
Berechne die Summe der Quadrate dieser Elemente!

Ich dachte bei der Lösung ja an den kleinen Gauß, aber wie kann ich das machen, wenn ich die Bildungsvorschrift der Folge nicht kenne?

Danke für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Wurzelgesetze

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

09:33 Uhr, 16.03.2019

Hallo
Tipp:
Du wirst eben eine (geschickte) Festlegung deiner Variablen treffen müssen.

z . B . :

Lass uns dem erste Glied den Namen geben:

x_{1} = a

Das zweite Glied sei (arithmetisch) um die Differenz

d

größer:

x_{2} = a + d

Das dritte Glied dann:

x_{3} = a + 2 \cdot d

Dann ist die Summe der ersten

n

Elemente:

S = a + a + 1 \cdot d + a + 2 \cdot d + a + 3 \cdot d + . .

+ a + (n - 1) \cdot d

Ich glaube, das war schon die größte Schwierigkeit...
Viel Erfolg!

anonymous

09:37 Uhr, 16.03.2019

Oh sorry, ich habe überhastet nicht recht zu Ende gelesen.
Du sollst ja die Summe der Quadrate berechnen.

Also dann:

S_{q} = a^{2} + {(a + 1 \cdot d)}^{2} + {(a + 2 \cdot d)}^{2} + . .

Fliege aktiv_icon

10:01 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

kleiner Gauss ist gar nicht schlecht :-).

Überleg dir vielleicht als erstes, was eigentlich die "Summe der Quadrate dieser Elemente" ist. Das gibt dir deine eigentlichen Folgenglieder

a 1, a 2, a 3, ...,

an, auf die du dein Wissen zur arithmetischen Folge/Reihe anwenden kannst.

Heißer Tipp:

a 1 = x 1^{2}

a 2 = x 1^{2} + x 2^{2}

a 3 = x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2}

. .

.

(Sorry,

1,2,3

und

n

sind tiefgestellt, wenn sie direkt nach einem a oder

x

stehen; bitte nicht denken, dass ich

3^{2}

meine oder so - das wäre falsch!)

Stichworte: Partialsumme/Reihe.

Jetzt schau dir vielleicht noch mal genau an, was eine arithmetische Folge und eine arithmetische Reihe eigentlich ist:
Eine arithmetische Folge zeichnet sich dadurch aus, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder immer gleich ist. Es gibt bestimmte Vorschriften, wie du das n-te Folgenglied bzw. die n-te Partialsumme ganz leicht berechnen kannst. Falls ihr die noch nicht gelernt habt, versuch dir anhand deiner Aufgabe hier zu überlegen, wo sie herkommen. Es liefert dir deinen Lösungsweg.

Guck auch mal in dein Mathebuch, vielleicht steht da eine Herleitung drin. Ansonsten hier ein brauchbarer Link zur Erklärung, aber leider ohne Herleitung:

www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/arithmetische-folgen

Hoffe, das hilft :-)!

Viele Grüße!

Fliege aktiv_icon

10:04 Uhr, 16.03.2019

Hey,

war wohl bisschen langsam :-). engleich11 hat dir schon die Herleitung gegeben, auf die ich anspielte :-).

Silke44 aktiv_icon

11:56 Uhr, 16.03.2019

Kannst du mir bitte noch den nächsten Schritt erklären?
Soll ich jetzt eine Variable ausklammern oder wie kann ich weiter vereinfachen?

Danke Silke

anonymous

12:19 Uhr, 16.03.2019

Also gut...

S_{q} = a^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot d + d^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 \cdot d + 2^{2} \cdot d^{2} + . .

S_{q} = a^{2} + a^{2} + a^{2} + a^{2} + . .

+ 2 \cdot a \cdot d + 2 \cdot 2 \cdot a \cdot d + 2 \cdot 3 \cdot a \cdot d + . .

+ 1 \cdot d^{2} + 2^{2} \cdot d^{2} + 3^{2} \cdot d^{2} + . .

Silke44 aktiv_icon

13:28 Uhr, 16.03.2019

Ja, danke. Aber diesen Schritt mit dem Ausmultiplizieren mit Hilfe der binomischen Formel habe ich schon verstanden. Nur muss ich doch auch die lange Summe mal irgendwie zusammenfassen lassen, damit ich eine Summenformel anwenden kann.

Außerdem muss ich doch auch mal irgendwann die Differenz "d" der Folgeglieder wieder eliminieren, weil diese doch in der Aufgabenstellung gar nicht gegeben war.

Irgendwie sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht

. .

.

Trotzdem danke

. .

anonymous

13:32 Uhr, 16.03.2019

"Nur muss ich doch auch die lange Summe mal irgendwie zusammenfassen lassen, damit ich eine Summenformel anwenden kann."

Ja sicher, das ist doch der naheliegende nächste Schritt. Mach doch mal!
Wie viele Summanden

a^{2}

hast du denn?

. .

.

"Außerdem muss ich doch auch mal irgendwann die Differenz "d" der Folgeglieder wieder eliminieren, weil diese doch in der Aufgabenstellung gar nicht gegeben war."
Ja sicher,

z . B . :

d = x_{2} - x_{1}

Silke44 aktiv_icon

13:36 Uhr, 16.03.2019

na bei

n

Elementen sind es natürlich auch

n

mal

a^{2},

aber an der Summe hängt ja noch ein langer Schwanz von

a \cdot d

und

d^{2}

drann

...

anonymous

13:45 Uhr, 16.03.2019

"aber an der Summe hängt ja noch ein langer Schwanz von

a \cdot d (...)

dran"
Ja ganz richtig.
Also, wie viele sind es?
Wie lauten sie?
Ausklammern könnte helfen...

"aber an der Summe hängt ja noch ein langer Schwanz von

(...) d^{2}

dran"
Ja ganz richtig.
Also, wie viele sind es?
Wie lauten sie?
Ausklammern könnte helfen...

Silke44 aktiv_icon

17:57 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

na bei 4 Elementen sind es

4 \cdot a^{2} + 12 \cdot a \cdot d + 14 \cdot d^{2}

sehe aber auch nicht, wie mich das weiter bringt

. .

.

Silke

Silke44 aktiv_icon

19:24 Uhr, 16.03.2019

Alao ich denke mal, das es genau so viele

a^{2}

sind, wie Elemente in der Folge sind, also bei einem Element ein

a^{2},

bei 2 Elementen zwei

a^{2},

bei n-Elementen

n \cdot a^{2},

Aber was ist mit den restlichen Summanden, da kann ich absolut keine Reihenfolge erkennen.

Bin schon total am verzweifeln.

LG Silke

anonymous

22:50 Uhr, 16.03.2019

nächstes Schrittchen, nächster Tipp:

S_{q} = n \cdot a^{2}

+ 2 \cdot a \cdot d \cdot [1 + 2 + 3 + 4 + . .

+ (n - 1)]

+ d^{2} \cdot [1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + . .

+ {(n - 1)}^{2}]

Silke44 aktiv_icon

09:23 Uhr, 17.03.2019

Guten Morgen,

danke dir vielmals dieser Schritt hat mir wirklich geholfen!
Der nächste Schritt wäre dann wohl:

Sq

= a^{2} \cdot n

+ 2 \cdot a \cdot d \cdot (n \cdot \frac{n - 1}{2})

+ d^{2} \cdot \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (2 \cdot n - 1)}{6}

und dann:

Sq

= a^{2} \cdot n

+ a \cdot d \cdot (n \cdot (n - 1))

+ d^{2} \cdot \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (2 \cdot n - 1)}{6}

Jetzt kann man sicher noch das

n

ausklammern, oder soll lieber erst das

d

ersetzt werden oder ist das noch zu früh?

Danke Silke

Silke44 aktiv_icon

09:48 Uhr, 17.03.2019

Nach dem Ausklammern von

n

wäre dann:

Sq

= n \cdot (a^{2} + (a \cdot d \cdot (n - 1)) + (\frac{d^{2} \cdot (n - 1) \cdot (2 n - 1)}{6}))

Oder war dieser Schritt noch zu früh?

Silke

anonymous

09:59 Uhr, 17.03.2019

Hallo
Sieht gut aus.
Und wie du das darstellen willst, bleibt in gewissem Maße deiner künstlerischer Freiheit überlassen.
Nur eine kleine Anmerkung:
Versuch doch den Überblick zu bewahren, welche Klammern du wirklich brauchst und der Übersicht und Verständlichkeit dienen. Zu viele Klammern zeugen auch nicht gerade von Souveränität.
Mein Vorschlag:

a = x_{1}

d =

Differenz der arithmetischen Glieder

(z . B

x_{2} - x_{1})

S_{q} = n \cdot [a^{2} + (n - 1) \cdot d \cdot (a + \frac{2 \cdot n - 1}{6} \cdot d)]

Und ich würd's so stehen lassen.

Silke44 aktiv_icon

11:28 Uhr, 17.03.2019

Hallo,

ja ich danke dir.

Naja das Einsetzen ist ja nun einfach, aber das Ergebnis sieht immer noch recht unübersichtlich aus, ich finde aber keine vernünftige Idee die Gleichung weiter zu vereinfachen:

Sq

= n \cdot (x 1^{2} + (n - 1) \cdot (x 2 - x 1) \cdot (x 1 + \frac{2 n - 1}{6} \cdot (x 2 - x 1)))

LG Silke

anonymous

11:47 Uhr, 17.03.2019

Wenn's dir so besser behagt, gerne.
Ich fand die Darstellungsweise mit "d" eigentlich schon noch einen Tick kürzer und übersichtlicher. Aber wie gesagt, da hat jeder so sein künstlerisches Auge und seine Vorlieben.
Noch weiter zu Vereinfachen würde ich auch kaum versuchen. Man kann das zwar bestimmt noch auf viele Weisen umformen und auf die ein oder andere Weise verklausulieren oder betonen. Viel kürzer wird's aber vermutlich nicht mehr.

Silke44 aktiv_icon

11:52 Uhr, 17.03.2019

Ja, ich habe auch schon versucht es weiter zu vereinfachen, auch mit Hauptnenner bilden und so, aber besser sieht das auch nicht aus.
Du meinst ich sollte das

d

in der Formel stehen lassen und es nicht mehr durch

x 2 - x 1

ersetzen?

Nochmals vielen Dankk für die ausführliche Hilfe!

Silke

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