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Summe einer Reihe, Vollständigkeitsrelation

Universität / Fachhochschule

Tags: Reihen, Summe, Vollständigkeitsrelation

blalala aktiv_icon

19:52 Uhr, 18.05.2014

Hallo,

wir hatten die Aufgabe gehabt, die Formel

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{6}} = \frac{π^{6}}{945}

zu beweisen.
Dazu sollten wir folgende Vollständigkeitsrelation benutzen:
Sei

f : ℝ \to ℂ

eine periodische Funktion, sodass

f

auf

[

0,2pi] Riemann-integrierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von

f

im quadratischen Mittel gegen

f,

Sind ck die Fourier-Koeffizienten von

f,

so gilt:

\sum_{k = - \infty}^{\infty}

|ck|^2

= \frac{1}{2 \cdot π} \int_{0}^{2 \cdot π} {| f (x) |}^{2} d x

Um diese Aufagbe zu lösen wurde die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty}

sin(kx)

/ (k^{3}) = \frac{1}{2 i} \sum_{k = 1}^{\infty}

(e^(ikx)-e^(-ikx))/

(k^{3}) = \frac{1}{12} \cdot x \cdot (x - π) \cdot (x - 2 \cdot π)

verwendet.

Mit der Vollständigkeitsrelation erhält man dann:

\frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{6}} = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot \frac{1}{144} \int_{0}^{2 \cdot π} x^{2} {(x - π)}^{2} {(x - 2 \cdot π)}^{2}

Kann mir vielleicht jemand erklären wie man auf diese Gleichung kommt?
Also die rechte Seite ist klar, dort wurde für

f (x)

einfach

\frac{1}{12} \cdot x \cdot (x - π) \cdot (x - 2 \cdot π)

eingesetzt, aber wie kommt man auf das, was auf der linken seite steht?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

19:57 Uhr, 18.05.2014

Links steht die Reihe

\sum_{- \infty}^{\infty} ∣ c_{k} ∣^{2}

, nur etwas umgeformt.
Die Fourierkoeffizienten von

f

sind

c_{k} = \frac{(- 1)^{k}}{2 i k^{3}}

, weil

f

als Fourierreihe mit diesen Koeffizienten definiert wurde.

blalala aktiv_icon

20:31 Uhr, 18.05.2014

Ich hab ein paar Schwierigkeiten Fourier-Reihen zu verstehen..
Warum sind diese ck genau die Fourrierkoeffizienten?
Fourier_Koeffizienten sind doch definiert als ck

= \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π}

f(x)*e^-ikxdx.
Wie kommt man dann auf die Form ck = (-1)^k/(2ik)^3?

DrBoogie aktiv_icon

21:00 Uhr, 18.05.2014

"Warum sind diese ck genau die Fourrierkoeffizienten?"

Wenn ich schon weiß, dass

f (x) = \sum c_{n} e^{i n x}

, dann muss ich nichts integrieren, um Fourier-Koeffizienten zu bestimmen, denn

f

ist schon als Fourier-Reihe dargestellt. In diesem Fall kann man die Fourier-Koeffizienten einfach aus der Reihe ablesen.

Natürlich kann man auch in diesem Fall integrieren, aber das wäre ein viel zu langer Weg.

blalala aktiv_icon

21:16 Uhr, 18.05.2014

okey macht sinn.. aber dann sind doch die Fourier-Koeffizienten ck =-e^(-ikx)/k^3 ?
tut mir leid, ich seh immernoch nicht wie du daraus auf die Form ck=

\frac{{(- 1)}^{k}}{2 \cdot i \cdot k^{3}}

kommst..
Und noch eine Frage: wenn ich ck=

\frac{{(- 1)}^{k}}{2 \cdot i \cdot k^{3}}

einsetze in

\sum_{- \infty}^{\infty}

|ck|^2 erhalte ich

\frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} - \frac{1}{k^{6}},

wie bringe ich das dann noch in die Form

\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{6}}

DrBoogie aktiv_icon

21:54 Uhr, 18.05.2014

"aber dann sind doch die Fourier-Koeffizienten

c_{k} = - e^{- i k x} / k^{3}

?"

Nein, denn Du hast vor der Reihe noch

\frac{1}{2 i}

stehen. Und

e^{- i k x}

gehört natürlich nicht zum Koeffizienten.

"tut mir leid, ich seh immernoch nicht wie du daraus auf die Form

c_{k} = (- 1)^{k} / (2 \cdot i \cdot k^{3})

kommst.."

Den Faktor

\frac{1}{2 i}

habe ich schon erwähnt.

(- 1)^{k}

steht, weil Du in der Reihe

e^{i n x}

mit Plus steht und

e^{- i n x}

mit Minus.

"Und noch eine Frage: wenn ich

c_{k} = (- 1)^{k} / (2 \cdot i \cdot k^{3})

einsetze in

\sum_{- \infty}^{\infty} ∣ c_{k} ∣^{2}

erhalte ich

\frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} \frac{- 1}{k^{6}}

"

Nein,

∣ (- 1)^{k} / (2 \cdot i \cdot k^{3}) ∣^{2} = \frac{1}{4 k^{6}}

"wie bringe ich das dann noch in die Form

\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{6}}

?"

Indem Du ausnutzt, dass

∣ c_{n} ∣^{2} = ∣ c_{- n} ∣^{2}

und deshalb die Reihe über negative

n

genauso groß ist wie die Reihe über positive

n

blalala aktiv_icon

22:12 Uhr, 18.05.2014

Vielen Dank für die Antworten :-)

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