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Summe in geschlossene Form darstellen

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Tags: Folgen und Reihen, HM1, Summe

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AliGee

AliGee aktiv_icon

17:02 Uhr, 08.11.2016

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Hallo, ich hänge an meinem Übungsblatt.
Unzwar soll ich eine gegeben Summe in eine geschlossene Form darstellen.

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{k}

Hinweis: Binomischer Lehrsatz und Differentiation von Summen.

Ich weiß nicht wie ich fortfahren soll. Ich erkenne den Gauß, Binomischen Lehrsatz und die Geometrische Summenformel. Die vorgeschlagene Differentiation macht es für mich noch komplexer.

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:36 Uhr, 08.11.2016

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Hallo,

das gbits wohl verschiedene Wege, sich das zurecht zu fummeln. Man kann so anfangen:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot x^{k} = x \cdot \frac{d}{d x} \sum_{k = 1}^{n} k (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot x^{k}

Gruß pwm

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Bummerang

17:48 Uhr, 08.11.2016

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Hallo,

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot x^{k}

= x \cdot \sum_{k = 1}^{n} k \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot k \cdot x^{k - 1}

= x \cdot \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot k \cdot x^{k - 1}

= x \cdot \sum_{k = 1}^{n} n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot ((n - 1) - (k - 1))!} \cdot k \cdot x^{k - 1}

= n \cdot x \cdot \sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) \cdot k \cdot x^{k - 1}

= n \cdot x \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) \cdot (k + 1) \cdot x^{k}

= n \cdot x \cdot \frac{d}{d x} \sum_{k = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) \cdot x^{k + 1}

= n \cdot x \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) \cdot x^{k})

= n \cdot x \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) \cdot x^{k} \cdot 1^{(n - 1) - k})

= n \cdot x \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot {(x + 1)}^{n - 1})

= n \cdot x \cdot (1 \cdot {(x + 1)}^{n - 1} + x \cdot (n - 1) \cdot {(x + 1)}^{n - 2} \cdot 1)

= n \cdot x \cdot ((x + 1) \cdot {(x + 1)}^{n - 2} + (n \cdot x - x) \cdot {(x + 1)}^{n - 2})

= n \cdot x \cdot (x + 1 + n \cdot x - x) \cdot {(x + 1)}^{n - 2}

= n \cdot x \cdot (n \cdot x + 1) \cdot {(x + 1)}^{n - 2}

= (n^{2} \cdot x^{2} + n \cdot x) \cdot {(x + 1)}^{n - 2}

Frage beantwortet

AliGee

AliGee aktiv_icon

21:33 Uhr, 08.11.2016

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Danke euch beiden.
Auf die Lösung mit dem Binominalkoeffizienten und ihn in die Rekursive Darstellung bringen, wäre ich nicht gekommen.

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