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Summe linear unabhängiger Vektoren

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Tags: Lineare Unabhängigkeit, Summe, Vektor

Julian93 aktiv_icon

14:28 Uhr, 17.02.2016

Hallo,

zu zeigen ist:

"Es sei

K

ein Körper,

V

ein K-Vektorraum und

v 1, v 2, v 3 \in V

Vektoren.

Dann gilt:

v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3

sind linear unabhängig.

\Rightarrow v 1, v 2

und

v 3

sind linear unabhängig."

Ich habe bereits eine Lösung zu dieser Aufgabenstellung zur Verfügung, aber mich würde interessieren, ob ein anderer Weg ebenso möglich ist. :-)

Lösung:

Es sei

(a 1 + a 2 + a 3) \in K

ein Koeffizient. Dann gilt:

v 1 + v 2 + v 3

ist linear unabhängig

\Leftrightarrow 0 = (a 1 + a 2 + a 3) (v 1 + v 2 + v 3) = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3

kann nur durch

a 1 = a 2 = a 3 = 0

erfüllt werden.

\Leftrightarrow

die Familie von Vektoren

v 1, v 2, v 3

ist linear unabhängig.

\Rightarrow v 1, v 2

und

v 3

sind linear unabhängig.

Zwei Sachen stören mich selbst an dieser Lösung:

1. Ich habe in meinen Beweis nicht mit einbezogen, dass auch

v 1

und

v 1 + v 2

linear unabhängig sind.

2. Ich bin mir nicht sicher, ob man einzelnen Vektoren, die Bestandteil einer Familie von Vektoren sind, dieselben Eigenschaften zuschreiben kann wie der Familie, von der sie ein Bestandteil sind.

Was sagt ihr dazu?

Lieben Gruß!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

14:38 Uhr, 17.02.2016

Erstens hast Du gar keinen Beweis.
Zweitens ist

(a_{1} + a_{2} + a_{3}) (v_{1} + v_{2} + v_{3}) \neq a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + + a_{3} v_{3}

.

"Ich bin mir nicht sicher, ob man einzelnen Vektoren, die Bestandteil einer Familie von Vektoren sind, dieselben Eigenschaften zuschreiben kann wie der Familie, von der sie ein Bestandteil sind."

Einzelne Vektoren haben grundsätzlich nicht die Eigenschaften, welche Familien von Vektoren haben. Weil Vektoren und Familien von Vektoren grundverschiedene Objekte sind. So kann ein einzelner Vektor nicht linear unabhängig sein (es sein denn, man meint damit die Familie, die aus einem Vektor besteht).

Julian93 aktiv_icon

15:10 Uhr, 17.02.2016

Ohje, da ist's tatsächlich schon am richtigen Ausmultiplizieren gescheitert. Dann ergibt der Rest natürlich auch keinen Sinn. ;-) Danke!

N-Bourbaki aktiv_icon

17:04 Uhr, 17.02.2016

Vektoren

v_{1}, v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2} + v_{3}

eines K-Vektorraums sind dann und genau dann linear unabhängig, wobei

a_{1}, a_{2}, a_{3}

aus K, wenn die folgende Aussage gilt:

a_{1} v_{1} + a_{2} (v_{1} + v_{2}) + a_{3} (v_{1} + v_{2} + v_{3}) = 0 \overset{}{\Rightarrow} a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0

Ausmultiplizieren der Gleichung liefert nun

(a_{1} + a_{2} + a_{3}) v_{1} + (a_{2} + a_{3}) v_{2} + a_{3} v_{3} = 0 \overset{}{\Rightarrow} a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0

Womit nachgewiesen wurde, dass somit auch

v_{1}, v_{2}, v_{3}

linear unabhängig sind.

Hoffe, dass diese Ausführung nicht zu knapp war, jedoch wenn Du dir den Nachweis zu Gemüte führst, kannst du erkennen, dass nicht mehr bewiesen werden muss.

Grüße Bourbaki

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