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Summe ohne festen Endwert berechnen!

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Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

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Tags: Endwert, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Summenzeichen

Siebewurtz aktiv_icon

10:21 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

ich sitze seit Stunden an einer Aufgabe und komme einfach auf den Lösungsansatz... Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand nachhelfen kann! ;-)

Es geht um Summen ohne festen Endwert

n

. Diese Summe soll dennoch berechnet werden (also in Abhängigkeit von

n)

.

Beispiel: www.wolframalpha.com/input/?i=Sum

[

%28%28j%2B1%29^3-j^3%29%2C+{j%2C+1%2C+n}]

ich soll also von der Summe mit Summenzeichen auf die Formel dahinter kommen. Natürlich könnte man die Aufgabe durch rumprobieren lösen, aber es muss doch auch möglich sein, auf diese Formel durch Rechnung zu kommen, oder?!

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann - ich komm einfach nicht weiter....

Viele Grüße,
Siebewurtz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Christian09 aktiv_icon

10:35 Uhr, 26.11.2013

Verstehe deine Frage gerade nicht?!

http//www.onlinemathe.de/forum/Folgende-Ausdruecke-mit-SummenProduktnotation

Meinst du das so?

Da schaut man sich die Struktur der Aufgabe an und übersetzt das in entsprechende Zeichen und schaut, ob's richtig sein kann. Man muss dafür natürlich die Strukturen der Aufgabe erkennen.

Siebewurtz aktiv_icon

14:32 Uhr, 26.11.2013

Ne, also die Aufgabe lautet "Berechnen Sie das Ergebnis folgender Summen für, soweit nicht weiter bestimmt, beliebiges

n

'Element' N."

dann ist die Aufgabe bspw wie oben in WolframAlpha dargestellt. Also die Summe von

j = 1

nach

n

. Es soll wohl keine feste natürliche Zahl für

n

eingesetzt werden, sondern die Summe allgemein für jedes

n

berechnen. Aber wie gehe ich da am besten vor?

Ich bin am verzweifeln....

: (

Viele Grüße,
Siebewurtz

Christian09 aktiv_icon

16:52 Uhr, 26.11.2013

Schreibe mal bitte dein konkretes Beispiel hierhin. Wie man Formeln schreibt findest du direkt über dem Beitragsformular, wo du deine Eingabe für einen Beitrag machst. Es ist dunkelblau unterlegt. Einfach mal draufclicken :-)

http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Christian09 aktiv_icon

17:00 Uhr, 26.11.2013

\sum_{k = 1}^{n} (x_{n}) = x_{1} + x_{2} + ... . + x_{n} =

explizite Folge

Meinst du das so?

An dieser Stelle müsstest du jetzt erkennen, dass es sich um eine Zahlenreihe handelt und dazu die bekannte Formel des kleinen Gauß kennen. Deine summen Formel und dann lautet deine explizite Formel:

\frac{n^{2} + n}{2}

Also

\sum_{k = 1}^{n} (x_{n}) = x_{1} + x_{2} + ... . + x_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}

Das musst durch durch üben lernen. Dass du ein Blick dafür bekommt, wie es in etwa sein könnte und dann einfach mal so ne Formel aufstellen. Ausprobieren, ob's stimmt. Und wenns nicht stimmt, schauen was du verändern musst.

Rekursive Folgen kennst du ja, oder? Hast du sicherlich auch schon aufgestellt. Dann musst du die Summe nur mal so wie ich ausschreiben und gucken, welchen explizite Folge du nutzen würdest. Zur Not setz mal zahlen für dein

n

ein und schau, was passiert und halte es dann wieder mit dem

n

allgemein.

Siebewurtz aktiv_icon

18:27 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort! Genau das habe ich gemeint, nur nicht gecheckt, dass ich das über rekursive Folgen lösen kann. Im nachhinein irgendwie klar...

Vielen Dank erstmal!

Christian09 aktiv_icon

18:41 Uhr, 26.11.2013

Sry, hatte an einer Stelle rekursiv stehen gehabt. Die Folgen sind explizit. Du willst den Wert würde ein bestimmtes

n

herausbekommen, wenn du dieses gegeben hast. Rekursiv geht nur mit Rückgriff auf den Vorgänger der Folge, dementsprechend nicht das, was du willst.

Siebewurtz aktiv_icon

20:30 Uhr, 26.11.2013

Hmm und ich war ein bisschen voreilig... Ich habe vier von diesen Aufgaben und auf eine bin ich jetzt nach weiteren 2 Stunden gekommen. Ich gebe es auf! Ich hoffe ich verstehe es dann in der Übung einigermaßen...

Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!

Viele Grüße

Christian09 aktiv_icon

23:56 Uhr, 26.11.2013

Dann gib doch mal deine Aufgaben....

Siebewurtz aktiv_icon

08:49 Uhr, 27.11.2013

Die

a)

konnte ich lösen, bei den anderen bin ich mir noch unsicher :-) Das wären jedenfalls die vier Aufgaben:

[n \in ℕ]

a) \sum_{j = 1}^{n} ({(j + 1)}^{3} - j^{3})

b) \sum_{i = 5}^{n} (2 i - 1)

für

n \geq 5

c) \sum_{k = 4}^{n} - 2^{k - 3}

für

n \geq 4

d) \sum_{k = 3}^{n} 3^{- k}

für

n \geq 3

Viele Grüße

Bummerang

09:06 Uhr, 27.11.2013

Hallo,

b) \sum_{i = 5}^{n} (2 \cdot i - 1) = \sum_{i = 1}^{2 \cdot n} i - \sum_{i = 1}^{n} (2 \cdot i) - (1 + 3 + 5 + 7) = \sum_{i = 1}^{2 \cdot n} i - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} i - 16

Die beiden Summen kann man mittels der bekannten Gauss-Formel berechnen.

c) \sum_{k = 4}^{n} (- 2^{k - 3}) = - \sum_{k = 4}^{n} 2^{k - 3} = - \sum_{k = 1}^{n - 3} 2^{k} = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 3} 2^{k}

Die Summe ist die Partialsumme einer geometrischen Zahlenfolge, deren Formel man kennen sollte!

d) \sum_{k = 3}^{n} 3^{- k} = \sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{3^{k}} = \sum_{k = 3}^{n} \frac{1^{k}}{3^{k}} = \sum_{k = 3}^{n} {(\frac{1}{3})}^{k} = \sum_{k = 3}^{n} {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{k - 3} = {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot \sum_{k = 3}^{n} {(\frac{1}{3})}^{k - 3} = {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot \sum_{k = 0}^{n - 3} {(\frac{1}{3})}^{k}

Die Summe ist die Partialsumme einer geometrischen Zahlenfolge, deren Formel man kennen sollte!

Siebewurtz aktiv_icon

13:26 Uhr, 27.11.2013

Super! Vielen Dank, das sieht schon mal verständlich aus! Ich werde es heut Abend mal schritt für Schritt nachvollziehen. Ich hoffe ich kanns dann komplett lösen :-)

Danke und viele Grüße

Apfelkonsument aktiv_icon

15:28 Uhr, 27.11.2013

Alternative:

\sum_{i = 5}^{n} (2 i - 1)

hat eine genauso schöne Teleskopstruktur, wie die Summe darüber. Es gilt nämlich

(2 i - 1) = i^{2} - (i - 1)^{2}

. Auf diese Weise sieht man dann eigentlich direkt das Ergebnis.

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