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Summe ohne obere Grenze??

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Indexverschiebung, Summe, summe berechnen, Summenzeichen

iversonsbracket aktiv_icon

21:53 Uhr, 15.10.2023

Hallo!

Ich studiere Mathe im ersten Semester und bin noch ziemlich überfordert mit allem.

Beim Lernen bin ich auf folgende Frage gestoßen:
Zeige, dass:

\sum_{j + k = m} b_{j} \cdot c_{k} = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} \cdot c_{m - j}

Wobei m hier ein Element der natürlichen Zahlen ist und

b_{j}

und

c_{k}

reelle Zahlen sind.

Mein Problem hier ist, dass die erste Summe anscheinend keine obere Grenze hat?
Ursprünglich wollte ich einfach eine Indextransformation durchführen, aber ich weiß nicht, wie das in diesem Fall funktionieren würde.

Kann mir jemand Tipps geben, wie ich hier am besten vorgehe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

22:00 Uhr, 15.10.2023

Hallo,

du hast leider nicht alles geschrieben, was dazu zu schreiben gewesen wäre. Es bleibt ein klein wenig Raterei übrig.

Gehe ich recht in der Annahme, dass die

b_{j}

und

c_{k}

nur für

j, k \geq 0

definiert sind?
(Sonst passt die Gleichung nicht (unbedingt).)

Aus diesem Grunde ist das Anfügen eines Scans der Originalaufgabenstellung sinnvoll. (Max. 500 kB)

Eine Indextransformation ist nur teilweise nötig.

Betrachte die Gleichung unter der ersten Summe:

j + k = m \overset{}{\Leftrightarrow} k = m - j

Auf diese Weise ersetzt man also

c_{k}

durch

c_{m - j}

.

Damit ist es mit der "Transformation" auch schon vorbei. Dass

j \geq 0

zu gelten hat, steht vermutlich im Umfeld der Gleichung.
Dass

j \leq m

zu gelten hat, ist eine Folge davon, dass (wohl) auch

k \geq 0

zu gelten hat.

Mfg Michael

iversonsbracket aktiv_icon

22:28 Uhr, 15.10.2023

Erstmal danke für die Antwort, das hilft mir schon immens weiter :-)

Sicherheitshalber hier trotzdem nochmal die originale Aufgabe, zur Sicherheit.

Randolph Esser aktiv_icon

23:19 Uhr, 15.10.2023

Beweisskizze:

Sei

m \in N

und

T := {0, ..., m}

.

Dann gilt für alle

j, k \in N,

dass

j + k = m \Rightarrow j, k \in T,

weshalb

{(j, k) \in N^{2} : j + k = m} = {(j, k) \in T^{2} : j + k = m}

.

Weiter gilt für alle

j, k \in T,

dass

j + k = m \Leftrightarrow k = m - j,

und da die Abbildung

ρ : T \to T, j \mapsto m - j

bijektiv ist,

folgt auch schon

{(j, k) \in T^{2} : j + k = m} = {(j, m - j) : j \in T}

.

Bem.:

S := {(j, k) : ((j, k) \in N^{2}) \land (j + k = m)}

ist eine unnötig aufwendige Schreibweise für

S := {(j, k) \in N^{2} : j + k = m},

finde ich.

HAL9000

09:47 Uhr, 16.10.2023

Es hängt natürlich in entscheidendem Maße von der Indexgleichung ab, ob sich die Summe nur über endlich viele Summanden erstreckt.

So ist das bei

i + j = m

so, wie oben ausführlich erläutert, auch bei

i + 2 j = m

u.a.

Tauchen aber Differenzen auf wie etwa bei

i - 2 j = m

, so ist das nicht mehr der Fall. In dem Fall wäre

\sum_{i - 2 j = m} b_{j} \cdot c_{k} = \sum_{j = 0}^{\infty} b_{j} \cdot c_{m + 2 j}

sofern diese Reihe überhaupt konvergiert.

iversonsbracket aktiv_icon

10:27 Uhr, 17.10.2023

Danke für die Hilfe! :-)

HJKweseleit aktiv_icon

22:50 Uhr, 17.10.2023

Die Aufgabe ist unsinnig, wenn j, k und m "beliebig" sind, denn für jedes Paar j und k lässt sich ein m=j+k bestimmen, und die Gleichung stimmt dann immer.

Da keine Begrenzung angegeben ist, ist folgendes bei so einer Darstellung üblich: m ist eine beliebige, aber feste Zahl, j und k laufen von 0 durch die natürlichen Zahlen, wobei sie die angegebene Bedingung erfüllen müssen. Also nimmst du dir einen Index und gehst mit ihm alle Möglichkeiten der Reihe nach durch.

Wenn j=0 ist, muss k (wegen j+k=m) gleich m sein, und der erste Summand ist dann

b_{0} c_{m}

.
Setzt du nun j auf 1, ist k=m-1, und du erhältst

b_{1} c_{m - 1}

usw. bis

b_{m} c_{0}

.

Die rechte Seite beschreibt nun genau das: j läuft von 0 bis m und k ist dann immer m-j, hier hast du einen Zähler j statt einer Gleichung für den Durchlauf.

Natürlich kannst du auch k herauf- und j herunterzählen, dann laufen die Summanden in umgekehrter Reihenfolge ab.

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