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Summe und Binomischer Lehrsatz

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Indexverschiebung, Summe

OphiuchuS

17:16 Uhr, 24.11.2010

Hallo!

Folgende Angabe:

Berechnen Sie unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes $\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) (n - k) 2^{k}$

Binomischer Lehrsatz: ${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k}$

Erster Schritt: $\sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} (n - k) 2^{k}$

Kürzen: $\sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k - 1)!} 2^{k}$

Jetzt hab ich (so wie ich das sehe) zwei Möglichkeiten und beide bringen mich nicht weiter.

Entweder (falls das überhaupt stimmt): $n \sum_{k = 0}^{n} \frac{(n - 1)!}{k! (n - k - 1)!} 2^{k} = n \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) 2^{k}$
und da komme ich auch durch Indexverschiebungen nicht auf die Form die ich möchte

Oder (mit $(n - k) = ((n - 1) - (k - 1)) :$

$n \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} 2^{k - 1} = n \sum_{k = 1}^{n + 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) 2^{k - 1}$

Index wieder zurückschieben:

$n \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) 2^{k}$

was mich auch nicht weiterbringt?

Denn ich hätte ja gerne die Form ${(x + y)}^{n - 1}!$

Bitte um Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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19:31 Uhr, 24.11.2010

Beide Zwischenergebnisse sind schon fast dein gewünschtes Endergebnis:

In $n • \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - 1}{k}) • 2^{k}$ fällt der Summand für $k = n$ weg, weil $(\binom{n - 1}{n}) = 0$ . Da $1 = 1^{n - 1 - k}$ ist, dürfen wir diesen Faktor ohne Bedenken ergänzen. Abschließend bleibt noch die Anwendung des binomischen Lehrsatzes mit $x = 1, y = 2$ und $n - 1$ als Exponent.

$n • \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - 1}{k}) • 2^{k} = n • \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) • 2^{k} • 1^{n - 1 - k} = n • (1 + 2)^{n - 1} = n • 3^{n - 1}$

OphiuchuS

19:38 Uhr, 24.11.2010

Vielen Dank für den Tipp, dass für $k = n$ der Ausdruck 0 ist hab ich vollkommen übersehen. Danke.

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