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Summe zweier Unterräume

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Addition, dimension, Summe, Unterraum, Vektorraum

 
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NoNickname

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15:17 Uhr, 25.12.2015

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Frohe Weihnachten miteinander,
in einer meiner Übungsserien für Lineare Algebra soll ich bestimmen, wie die Summe von einem Unterraum U1 und U2 aussieht.
Die Definition ist ja formal folgende:
U1+U2={u1+u2|u1 ∈ U1,u2 ∈ U2}
Die Basen sehen wie folgt aus (der Raum ist R2x3, ich schreibs mal als R1x6 auf damit man das besser lesen kann)
U1:

[-1,1,0,-1,1,0],[-1,0,1,0,0,0],[0,0,0,-1,0,1]

U2:

[2,0,0,1,0,0],[0,1,0,0,2,0],[0,0,2,0,0,1]

dim(U1)=3
dim(U2)=3
dim(U1 schnitt U2)=1, die Basis dafür ist [-2,0,2,-1,0,1]

Nach der Formel von Wikipedia wäre die Dimension der Summe von U1 und U2 ja folgendes:
dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1 Schnitt U2), wonach die dim(U1+U2)=5 wäre.

Jetzt ist meine Frage: Wie berechnet man die Summe, wenn man nicht den Schnitt berechnet? Kann man das irgendwie als Matrix darstellen?
Die Summe müsste doch demnach all das sein, was sich als Linearkombination aus U1+ Linearkombination aus U2 darstellen lässt, oder irre ich?

Ich denke, dass mein Übungsleiter sich nicht zufrieden geben wird damit, dass ich weiß, dass diese Formel gilt, weshalb ich auch gerne wüsste, woher das kommt.

Nochmal eine kleine Editierung:
Die Frage zielt darauf ab: Wie würde ich die Basis der Summe bestimmen können, das steht eigentlich hinter all dem.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:37 Uhr, 25.12.2015

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Du kannst eine Basis so bestimmen: alle 6 Vektoren untereinander als Zeilen einer Matrix schreiben, die Matrix mit dem Gauss auf Zeilenstufenform bringen, dann sind alle Zeilen, die nicht aus lauter Nullen bestehen, eine Basis.
Frage beantwortet
NoNickname

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15:52 Uhr, 25.12.2015

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Hi DrBoogie,
vielen Dank! Kam auf das Ergebnis auch schon mehrere Male, wollte aber irgendwie dann immer in Abhängigkeit von einem Parameter alles bestimmen, weil Nullzeilen entstehen.
Ist natürlich dämlich, wie mir jetzt auffällt, da dieser ja als R-Linearkombination aus dem Rest geschrieben werden kann und demnach natürlich wegfällt.
Danke dir!