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Summenzeichen Quadrieren: Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Quadrieren, Summe, Summen, Summenzeichen

jumac aktiv_icon

15:08 Uhr, 07.04.2017

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe. Man soll zeigen, dass es für beliebige reelle Zahlen (

x_{1}

, ... ,

x_{5}) g i l t .

\sum_{i = 1}^{5}

(

x_{i}

\frac{1}{2}

\sum_{j = 1}^{5} x_{j})^{2}

\sum_{i = 1}^{5}

(

x_{i}

)^2 -

\frac{1}{2}

(

\sum_{i = 1}^{5}

x_{i}

)^2

Ich habe bereits probiert die Potenz aufzulösen und die Summe zu teilen. Dabei bleibt immer beim Auflösen der mittlere Teil der Bino übrig.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ginso aktiv_icon

15:35 Uhr, 07.04.2017

DIe Gleichung stimmt auch nicht. Setz mal für alle

x_{i}

den Wert 2 ein. Dann haste einmal:

\sum (2 - ½ \cdot 10)^{2} = \sum (- 3)^{2} = 45

und einmal

\sum 4 - ½ \cdot 1 0^{2} = 20 - 50 = - 30

Ich schreib gleich meine Lösung

Ginso aktiv_icon

15:42 Uhr, 07.04.2017

hier meine Lösung

\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{5} x_{j})}^{2}

= \sum_{i = 1}^{5} [x_{i}^{2} - x_{i} \sum_{j = 1}^{5} x_{j} + \frac{1}{4} {(\sum_{j = 1}^{5} x_{j})}^{2}]

= \sum_{i = 1}^{5} (x_{i}^{2}) - \sum_{i = 1}^{5} (x_{i} \sum_{j = 1}^{5} x_{j}) + \sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{4} {(\sum_{j = 1}^{5} x_{j})}^{2}

= \sum_{i = 1}^{5} (x_{i}^{2}) - {(\sum_{j = 1}^{5} x_{j})}^{2} + \frac{5}{4} {(\sum_{j = 1}^{5} x_{j})}^{2}

= \sum_{i = 1}^{5} (x_{i}^{2}) + \frac{1}{4} {(\sum_{j = 1}^{5} x_{j})}^{2}

bedenke in der Umformung 3. auf 4. Zeile, dass

\sum_{i = 1}^{5} x_{i} = \sum_{j = 1}^{5} x_{j},

denn es ist ja egal über welchen Index wir summieren.

Außerdem erreichen wir durch ausklammern

\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} \sum_{j = 1}^{5} x_{j}) = (\sum_{i = 1}^{5} x_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{5} x_{j})

jumac aktiv_icon

08:25 Uhr, 08.04.2017

Danke, du hast ja gesagt, dass die Gleichung nicht stimmen würde. Ich verstehe Deinen Schritt in der 2 Zeile nicht. Du löst ja die Potenz auf. Sprich du hast ja vermutlich die Binomische Formeln angewandt, oder? Was passiert mit dem 1/2?

ledum aktiv_icon

15:16 Uhr, 08.04.2017

Hallo

{(a + \frac{1}{2} \cdot b)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{1}{4} b^{2}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

dahin ist die

\frac{1}{2}

verschwunden.
Gruß ledum

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