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Supremum einer Menge
Universität / Fachhochschule
Tags: kompaktheit, Maximum, Menge, Supremum
 
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Hi, hab eine kurze Frage zu einer Menge: Ich soll zeigen oder wiederlegen, dass eine kompakte Menge ist. Ich hab da jetzt so angefangen, dass ich zeige, dass sie beschränkt und abgeschlossen ist - was sich ja an und für sich durch Bestimmen von Minimum und Maximum erledigen lässt. Minimum sollte hier ja 1 sein, die Folge konvergiert ja gegen 1 und sollte aufgrund von immer größer als 1 bleiben. Beim Maximum komme ich durch Probieren drauf, dass der höchste Wert bei angenommen wird. Aber wie kann ich das alles beweisen? Kann mir da wer helfen? Danke im Voraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Dosii, die Beschränktheit magst Du mit Deiner Argumentation ja beweisen können, aber was hat die Abgeschlossenheit mit Maximum und Minimum zu tun? Betrachte doch mal die Menge . Die hat ein Maximum und eine Minimum. Aber ist sie auch abgeschlossen???? Gruß ermanus |
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Den Einwurf verstehe ich ehrlich gesagt nicht so ganz. Die Menge die du angegeben hast besitzt ein Supremum und ein Infimum, aber doch kein Maximum und Minimum oder? Oder hab ich da was falsch verstanden? Abgeschlossenheit bedeutet ja, dass das Komplement offen ist, also ein offenes Intervall. Meine Argumentation wäre jetzt hier gewesen, dass Minimum bzw. Maximum ja zur Menge gehören (lt. Definition), womit sie nicht Teil des Komplements sind - welches somit offen ist. Bin mir nicht sicher ob ich das so richtig verstanden habe ... Wie würdest du Abgeschlossenheit zeigen? |
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Das Komplement Deiner Menge ist doch gar kein Intervall, sondern eine abzählbare disjunkte Vereinigung von Intervallen. Zu meinem Beispiel: Das Minimum ist -1 und das Maximum ist 1/2. |
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Aja ok, das mit der Menge von dir hab ich jetzt verstanden :-) Naja schon, aber die Vereinigung von offenen Intervallen ist doch selbst auch wieder offen oder? |
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Das ist korrekt. Ich habe ja auch nicht behauptet, dass Deine Menge nicht abgeschlossen sei. Ich habe nur gesagt, dass Deine Argumentation das nicht hergibt, da das Vorhandensein von min und max kein hinreichendes Kriterium ist. |
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Ok, aber wie würde ich dann in diesem Fall die Abgeschlossenheit nachweisen? |
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Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte besitzt. |
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Ok, ich steh hier echt auf der Leitung ... Kann ich um die Häufungspunkte zu bestimmen einfach die entsprechende Folge betrachten? Weil die würde ja gegen 1 konvergieren und somit den Häufungspunkt 1 besitzen. |
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Jawoll; denn da Deine Folge gegen 1 konvergiert, ist 1 der einzige Häufungswert der Folge und damit der einzige Häufungspunkt Deiner Menge, und da 1 in der Menge liegt, besitzt sie alle ihre Häufungspunkte und ist damit abgeschlossen. |
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Ok vielen Dank! Kann ich das dann verallgemeinern? Also z. B. kann ich immer Abgeschlossenheit zeigen, indem ich die Zuordnungsvorschrift als Folge betrachte und deren Häufungswerte bestimme? |
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Das kannst Du immer machen, wenn Deine Menge sich darstellen lässt als eine Menge, deren Elemente sich als Folgenglieder einer oder mehrerer Folgen darstellen lassen und deren jeweilige Limiten mit zu der Menge gehören. In meinem Beispiel fehlt ja der Häufungspunkt 0, und daher ist meine Menge nicht abgeschlossen. Wohl aber ist die Menge abgeschlossen, da sie alle ihre Häufungspunkte besitzt; denn es gibt ja gar keine solchen. |
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Ok, d. h. wenn ich zum Beispiel die Menge mit habe, dann kann ich Kompaktheit folgendermaßen zeigen: Beschränkt muss die Menge ja sein, weil niemals kleiner als -1 wird und die anderen beiden Mengen sowieso nur positive Elemente enthalten. Außerdem ist sie durch nach oben beschränkt. Abgeschlossen ist sie ebenfalls, weil die Folge gegen 0 und die Folge gegen 1 konvergiert - was dann die Häufungspunkte der Menge sind, welche allerdings auch in der Menge selbst liegen. Damit ist sie beschränkt und abgeschlossen und somit kompakt. Ist das richtig so? |
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Ich finde das richtig! Übrigens, Deine ursprüngliche Folge war ja konvergent gegen 1. In dem Falle hast Du den Satz: konvergente Folgen sind beschränkt, d.h. Du musst Dir über obere und untere Schranken in diesem Falle gar keine Gedanken machen. |
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Passt, danke! Vielen lieben Dank, du hast mir wirklich sehr geholfen!!!! |
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