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Tangensfunktion umstellen

Universität / Fachhochschule

Tags: Tangesfunktion, Umstellung

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09:46 Uhr, 07.07.2020

Z=(TAN(100/73,85*x/y))/3+(POTENZ(x/y;2)/3)-(x/y)/10

Hallo in das Forum,
meine Frage ist, ob und wie diese Funktion (aus Excel) nach

y

umgestellt werden kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

10:40 Uhr, 07.07.2020

Es ist

z = f (t)

mit

f (t) := \tan (ω t) + \frac{t^{2}}{3} - \frac{t}{10}

für

t = \frac{x}{y}

mit

ω := \frac{100}{73.85}

. D.h., man löst am besten bei gegebenen

z, x

diese Gleichung zunächst nach

t

auf und bekommt anschließend per

y = \frac{x}{t}

dann auch

y

heraus.

Die

t

-Lösung im ersten Schritt wird wohl nur per Näherungsverfahren möglich sein. Außerdem wäre genauer zu fragen, für WELCHE der Lösungen du dich interessierst? Es ist nämlich sofort per ZWS klar, dass in jedem Intervall

\frac{(2 k - 1) π}{2 ω} < t < \frac{(2 k + 1) π}{2 ω}

mit

k \in ℤ

mindestens eine

t

-Lösung dieser Gleichung existiert - tiefere Betrachtungen ergeben dann sogar, dass es jeweils GENAU eine ist.

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22:19 Uhr, 07.07.2020

Wenn ich

z . B

. den Wert

0,258

eintrage für

Z

(das wäre ein gemessener Winkel in Gradzahl)

0,258=tan(1,345/t)+t²/3-t/10

t = \frac{x}{y}

bekomme ich für

t

folgende Lösungsmenge

{- 1.764; - 0.856; - 0.449; - 0.095; 0.398; 0.856}

Bei

x = 9977

(das wäre eine gemessene Kraft in Newton)

machen nur die positiven Werte Sinn, eigentlich nur

0,398

N8eule

23:14 Uhr, 07.07.2020

Hallo

1 .)

Vielleicht nur ein Zahlendreher:

\frac{100}{73,85} = 1,354

2 .)

Entscheide dich, ob du die Funktion

Z = tan (1,354 \cdot t) . .

.
oder

Z = tan (\frac{1,354}{t}) . .

.
meinst.

3 .)

Falls doch die ursprüngliche Funktion

Z = tan (\frac{t}{0,7385}) . .

.
gemeint sein sollte,
dann wären für

Z = 0,258

die Lösungen:

t_{1} = 0.45326

t_{2} = 1.62406

t_{3} = 3.548576

edit: oder

t_{0} = - 3,41838

4 .)

Kontrolle machen schafft Sicherheit.

HAL9000

09:31 Uhr, 08.07.2020

> für Z (das wäre ein gemessener Winkel in Gradzahl)

Der Tangens-WERT plus dieses quadratische Polynom soll ein WINKEL sein?

Und wieso Gradzahl? Ohne Maßeinheit sind Winkel grundsätzlich im Bogenmaß zu verstehen, auch und gerade wenn man mit Winkelfunktionen hantiert. In dem Sinne entspricht das angehängte Gradzeichen ° einer Multiplikation mit

\frac{π}{180}

.

> tan(1,345/t)

Gleiche Frage wie N8eule: Laut Eröffnungsposting sollte es eher

\tan (1.354 \cdot t)

sein. Ein

\tan (1.354 / t)

würde alles auf den Kopf stellen, mit unendlich vielen

t

-Lösungen in jeder Nullumgebung...

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20:44 Uhr, 08.07.2020

Sorry, es ist natürlich wie ursprünglich formuliert

z = \frac{tan (1,354 \cdot t)}{3} ...

.

Das

Z

ein Winkel ist war nicht meine Idee. Sie beruht auf der Analogie dieser Funktion zur sogenannten „Allgemeinen Kippkurve„ von Bäumen.
Bei Zugversuchen an Bäumen bis zur Entwurzelung wurden Messpaare aus Kippwinkel/eingeleitet Kraft gemessen deren Verlauf bis zum Entwurzeln einer Tangensfunktion gleicht. Eigentlich müssten es aber zwei einhüllende Funktionen sein, weil die Messpaare bei hohen Zugkräften ziemlich streuen.

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17:15 Uhr, 10.07.2020

Bitte noch mal um Hilfe:

Wenn ich nach hal9000 mit den bekannten Werten

z

und

x

arbeite,

würde ich für

z

den Wert

0,258

und für

x 10065

einsetzen.

Dann gibt mir die Formel

0,285 = \frac{tan (1,354 \cdot t)}{3}

+(t²)/3-t/10

im ersten Schritt die Lösungsmenge

t = - 12,75687

t = - 10,43439

t = - 8,10981

t = - 5,77903

t = - 3,41819

t = 0,48303

t = 1,63604

t = 3,54931

t = 5,82415

t = 8,13255

t = 10,44806

Das kommt mit den
Werten von N8eule jetzt einigermaßen hin.

t = 0,483

scheint am passensten.

Dann wäre

t = \frac{x}{y}

y = \frac{10065}{0,483}

y = 20838

Allerdings kann ich mich vermutlich von dem Gedanken verabschieden mit Excel und der Formel ganze Zahlenkolonnen durchzuspielen.

Roman-22

23:06 Uhr, 10.07.2020

In welchem Bereich sollen/dürfen sich die Werte für

z

und vor allem

t

denn bewegen?
Deine Grafik war in dieser Hinsicht ja unlesbar und daher nicht hilfreich.

Die von dir gegebene Funktion ist ja, wenn ich dich richtig verstanden habe, auch nur eine Näherung, die jemand so zu empirisch gemessenen Daten hingepasst hat. Möglicherweise leistet eine andere Näherung Ähnliches und ist leichter nach

t

aufzulösen.
Wenn sich beispielsweise dein Verhältnis

x : y = t

ohnedies immer nur im Bereich von 0 bis 1 bewegen kann, dann könnte man vielleicht eine einigermaßen gut passende Ersatzfunktion finden, die sich auch in Excel leichter umkehren lässt.

N8eule

23:35 Uhr, 10.07.2020

Hallo nochmals
Ich verstehe dich nun so, dass du dich eigentlich für den Zweig zwischen

0 < t < 0.36925 \cdot π = 1.16

interessierst.

Ferner mag ich deinem Diagramm entnehmen, dass du keine Hoch-Präzisions - Anforderungen hast, sondern eigentlich ein numerisch praktikable Näherung genügt.

Da gibt es viele Möglichkeiten, auch mit Excel.
Du kannst

z . B

. die Funktionswerte als Tabelle mit praktikabel vielen Stützpunkten aufbereiten, und dazwischen interpolieren.

Oder:
Falls das deinen Genauigkeitsansprüchen genügt, hätte ich dir mal eine abschnittsweise definierte (Näherungs-) Funktion angeboten:

g (t) = 0.12 \cdot e^{2.56 \cdot t} - 0.12

für

t < 0.85

g (t) = \frac{0.5715806 + tan (\frac{t}{0} . 7385)}{3}

für

t \geq 0.85

Der Vorteil: Ich habe dir Funktionen raus gesucht, die sich umkehren lassen:

t = \frac{ln (\frac{g}{0,12} + 1)}{2,56}

für

g < 0.93732

t =

0,7385*arctan(3*g-0.5715806) für

g \geq 0.93732

Vielleicht hilft dir das?
Sonst müsstest du nicht nur noch mal um Hilfe bitten, sondern auch verständlich in konkrete Fragen fassen, wie dir geholfen werden könnte.

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18:34 Uhr, 12.07.2020

Hallo, erst mal vielen Dank an Alle Kommentatoren für die Hilfe!

Die Lösung bzw. Umstellung der Formel ist mir nach hal9000 soweit klar.

Für

t (\frac{x}{y})

bzw. (Kraft/max. Kraft) sind nach einiegen Tests nur die positiven Werte zwischen 0 bis 1 relevant.

Ich werde die Alternativfunktionen von N8eule mal in Excel testen und mit den Ergebnissen der ursprünglichen Funktion vergleichen.

Wenn Zeit ist, werde ich da noch mal tiefer einsteigen und hier das ganze Problem mit präziseren Fragen etwas ausführlicher darstellen.

Danke und Gruß!

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18:35 Uhr, 12.07.2020

Grüße aus Göttingen!

Roman-22

02:16 Uhr, 13.07.2020

>

Für t(xy) bzw. (Kraft/max. Kraft) sind nach einiegen Tests nur die positiven Werte zwischen 0 bis 1 relevant.
Na, das macht die ganze Sache doch bedeutend einfacher und beseitigt alle Mehrdeutigkeiten.

Ich würde für dein Problem einfache nur lineare Interpolation nutzen. Erzeuge eine Liste von vielleicht an die

100

t-Werte von 0 bis 1 und berechne mit deiner Funktion die Liste der entsprechenden z-Werte.
Um nun zu einem gegebenen z-Wert den zugehörigen t-Wert zu ermitteln, nutzt du lineare Interpolation. Das ist sicher für deine Zwecke genau genug. Ich weiß nicht, ob es da für Excel da schon eine fertige Funktion in einer Toolbox gibt, aber wenn nicht, sollte die Implementierung nicht so schwer sein. Die richtige Stelle in der z-Liste ermitteln (SVERWEIS) und dann die einfache Formel für die lineare Interpolation verwenden.
Das beiliegende Bild1 zeigt diesen Ansatz, wobei das verwendete Programm aber mit "linterp" bereits eine Funktion für die lineare Interpolation mitbringt.
Dort wurde eine zweiparametrige Funktion

y (x, z)

definiert, da du vermutlich auch unterschiedliche Werte für

x

einsetzen können möchtest.

Falls du aber lieber eine gut passende Näherungsfunktion verwenden möchtest, habe ich dir im Bild2 zwei wie ich meine ziemlich gut passende Möglichkeiten (bereits fix fertig für die Berechnung von

y)

aufgezeigt, eine Weibull- und eine gebrochen rationale Funktion. Beide sollten sich auch in Excel leicht realisieren lassen.

Triff deine Wahl ;-)

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