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Tangente an Kreis
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 20:40 Uhr, 08.12.2006  |
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--->>Zitat: "Hallo, hab ne Frage, wir haben ne aufgabe bekommen, die sieht wie folgt aus: Kreisgleichung : x² + y² = 16 Neigung des Daches: 75% Das heißt wir haben einen Kreis vorgegeben K((0;0);4). also der mittelpunkt liegt bei 0/0 und der Radius ist 4. Nun liegen auf dem Kreis 2 Tangenten. Ich weiß auch das die die Steigung 3/4 und -3/4 haben.(durch die 75%) Es handelt sich um einen Dach der auf einem Kreis liegt. nun wird in der skizze auch gezeigt das die Dachspitze, sprich der Schnittpunkt der beiden Tangeten und auch der y-achsenabschnitt der tangenten bei 0/5 liegen. und die frage dazu ist, dass wir die zwei tangentengleichungen aufstellen sollen (ohne den y-achsenabschnitt abzulesen) und die zwei Schnittpunkte mit dem Kreis finden. Hoffe ihr könnt euch ein Bild davon machen und mir helfen einen ansatz zu finden. Danke im vorraus. Andromeda Senior Member --->Antwort: Als erstes wird der Berührungspunkt der Tangente mit dem Kreis berechnet. Das ist die Stelle im Kreis, welche die gleiche Steigung wie die Tangente, also -3/4 aufweist. (Wir betrachten hier nur mal eine Tangente. Die Steigung ist die Ableitung einer Kurve, als wird die Kreisgleichung nach y aufgelöst, das ergibt für den Kreis y(x) = (16 - x²)^½ Die Ableitung ist y'(x) = ½ (16 - x²)^-½ * (-2)*x = -x * (16 - x²)^-½ Am Berührungspunkt x0 muss die Steigung = Tangentensteigung a = -3/4 sein, damit gilt -3/4 = -x0 * (16 - x0²)^-½ Das Ganze jetzt quadriert ergibt 9/16 = x0²/(16 - x0²) Aufgelöst nach x0 ergibt x0² = 9*16/25 und damit x0 = 12/5 = 2.4 Eingesetzt in die Kreisgleichung ergibt für y0 y0 = (16 - x0²)^½ = 16/5 = 3.2 Die Tangentengleichung lautet t(x) = (-3/4) * x + b Nun wird für x = x0 eingesetzt und für t(x0) = y0, dann folgt y0 = -3/4 * x0 + b => 16/5 = (-3/4)*12/5 + b => b = 5 somit ist die Tangentengleichung t(x) = (-3/4) * x + 5 Die andere Tangente wird ähnlich berechnet, die Gleichung lautet dann t(x) = (3/4) * x + 5 Gruß Andromeda" ---> Zitat ende Hallo zusammen. Habe die selbe Aufgabe hier vor mir liegen, und weiß auch die Lösungen, nur weiß ich nicht, ob mein Rechenweg richtig ist. Als kleinen Unterschied zur oben genannten Aufgabenstellung darf ich den Schnittpunkt mit der y-Achse S(0|5) ablesen. So nun meine Rechnung (Ist am Ende merkwürdig, da eine negative Zahl unter der Wurzel steht, aber davon abgesehen würde -p/2 x1 entsprechen...): geg.: K: x² + y² = 16 ---> r = 4 und M(0|0) m(tangente) = 75% ---> mt1= ¾ mt2 = -¾ y=m*x+b y=¾*x+b ---> Einsetzen von S(0|5) 5=¾*0+b b=5 ---> y=3/4*x+5 K: x² + y² = 16 x² +(¾*x+5)² = 16 ---- (¾*x+5)² <--- Bin-Formel? x² + 9/16x² + 7½x + 25 = 16 25/16 x² + 7½x+ 9 = 0 <--- teilen durch 25/16 x² + 4 4/5x + 9 = 0 <--- p-q-Formel anwenden -2 2/5 +- sqrt[((4 4/5 / 2)²) - 9] -12/5 +- sqrt(5,76-9) <--- Wurzel auflösen nicht möglich... -2,4 +- sqrt(5,76-9) Und da taucht dann die -2,4 auf. Ist das Zufall? Weil sobald ich die habe kann ich ja auch y ausrechnen. Würde mich über schnelle Antwort freuen. BBCT |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Tangente (Mathematischer Grundbegriff) Sekante (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Meine Strategie: Zur Steigung m=-3/4 ist m´= -1/m = 4/3 = tan(a) senkrecht, a ist also der Steigungswinkel im Kreis bei 0 mit der Ankathete x0 = 4* cos(a) und der Gegenkathete y0 = 4* sin(a). P(x0 / y0) ist also der noch gesuchte Berührpunkt. Die Tangentengleichung wäre mit der Punkt-Steigungsformel y = m (x-x0) + y0 komplett! Man erinnere sich an die Umrechnung von sin --> tan = m´ bzw. cos --> tan = m´ ... (I) sin(a) = m´/ Wurzel(1+m´²) = 4/3 /Wurzel(25/9) = 4/5 (II) cos(a) = 1/ Wurzel(1+m´²) = 3/5 Siehe oben: x0 = 4* cos(a) = 4* 3/5 = 12/5 und y0 = 4* sin(a) = 4* 4/5 = 16/5 Damit: y = -3/4 *(x-12/5) + 16/5 ist die gesuchte erste Tangente. - Beachte: Hier setze ich die Steigung m (ohne Strich) ein. Das m´ (mit Strich) diente also nur als Vehikel für den Punkt P(x0 / y0). Als Probe: x0² + y0² = 16, d.h. P liegt auf dem Kreis und D(0/5) auf der Tangenten. Aus Symmetriegründen ist das ´linke´ x0 = -12/5 und m= +3/4, also... y = 3/4 *(x+ 12/5) + 16/5 die andere Tangente. Und auch D(0/5) liegt darauf. Etwas weniger Rechnerei, etwas mehr Text. Hoffe es gefällt Dir trotzdem. -Steele- |
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