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Tangente an Kugel legen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kugel, Tangent

 
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anonymous

anonymous

11:35 Uhr, 23.06.2023

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Moin,

im Rahmen meiner Hausaufgabe komme ich leider nicht weiter.

Ich habe eine Kugel mit der Kugelgleichung K:(x-10)2+(y+5)2+(z-8)2=16 und den Punkt P(12|-5|2).
Der Punkt P befindet sich außerhalb der Kugel. Ich soll nun vom Punkt P eine Tangente an die Kugel legen und einen Berührungspunkt B angeben.

Ich habe bisher versucht mich in das Thema reinzudenken, jedoch bin ich nicht weitergekommen. Im Internet habe ich auch gesucht und leider nur Erklärung gefunden, wie man die Tangente an einem Kreis bestimmt….

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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HAL9000

HAL9000

12:13 Uhr, 23.06.2023

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Das ist eine Angabe zuwenig für Eindeutigkeit:

Sei M der Mittelpunkt der Kugel K, sowie KP diejenige Kugel, welche MP als Durchmesser hat.

Dann ist JEDER Punkt B des Durchschnitts C=K∩KP (das ist ein im Raum liegender Kreis) ein möglicher Tangentenpunkt, d.h. Gerade PB eine Tangente an K, das folgt schlicht aus dem Satz des Thales.


Rechnerisch: Die beiden Vektoren MB⃗ und PB⃗ müssen senkrecht aufeinander stehen. D.h., es muss das Gleichungssystem

Bedingung B∈K: (x-10)2+(y+5)2+(z-8)2=16(1)

Bedingung MB⊥PB: (x-10)(x-12)+(y+5)(y+5)+(z-8)(z-2)=0(2)

erfüllt sein. Differenz (1)-(2) liefert schon mal einen linearen Zusammenhang zwischen x,y,z

2(x-10)-6(z-8)=16, umgestellt x=3z-6.

Jetzt kann man das in (1) einsetzen sowie y zumindest in gewissen Grenzen frei wählen, so dass es immer noch eine Lösung gibt...
anonymous

anonymous

14:40 Uhr, 23.06.2023

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Vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe nun den Ausdruck x=3z-6 IN (1) eingesetzt und so weit es geht vereinfacht.

Ich kam am Ende zur Gleichung:
10z2-112z+y2+10y=-329

Einen Aspekt habe ich noch nicht nachvollziehen können. Was meinst du mit „y kann man in gewissen Grenzen frei auswählen“?

Ich hatte eben die Kugelgleichung und den Punkt P in ein 3 dimensionales Koordinatensystem eingegeben und gesehen, dass der Berührungspunkt B sich ja eigentlich nur in der unteren Kugelhälfte befinden könnte, damit eine Tangente angelegt werden kann. Wolltest du darauf hinaus?
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HAL9000

HAL9000

14:53 Uhr, 23.06.2023

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Das Ausmultiplizieren des y-Terms war kontraproduktiv, den lassen wir mal hübsch beisammen:

10z2-112z+(y+5)2=-304

Jetzt kann man noch durch 10 dividieren und quadratisch ergänzen:

z2-11.2z=-30.4-0.1(y+5)2
(z-5.6)2=0.96-0.1(y+5)2(*)

Wenn du jetzt y rechts "falsch" wählst, wird die rechte Seite negativ und es gibt keine Lösung. Ist ja auch klar, der o.g. Kreis im Raum hat nur endliche Ausdehnung, und damit auch nur Punkte mit eingeschränkter y-Koordinate.

Wenn es dir nur um EINEN einzigen Tangentenpunkt geht, kannst du naheliegenderweise y=-5 wählen, dann hast du die Gleichung

(z-5.6)2=0.96

und bekommst aufgelöst zwei mögliche z-Werte und über x=3z-6 die zugehörígen x-Koordinaten. Diese beiden B=(x,-5,z) wären also schon mal zwei mögliche Lösungen.

Suchst du indes ALLE solchen B, dann musst du dir anhand von (*) zusätzlich überlegen, für welche y die rechte Seite überhaupt positiv ist, und kannst dann für diese y dann z=z(y) als Funktion angeben.
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