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Tangentengleichung bestimmen mit Parameter

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Gleichungssysteme

Tags: Gleichungssystem, Parameter, Tangent, Tangentengleichung

isotuce aktiv_icon

18:52 Uhr, 22.05.2013

Hallo. Ich schreibe in knapp 2 Wochen mein Fachabi und komme bei einer Rechnung einfach nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen. Die Frage lautet : Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen der Graph fa eine horizontale Tangente besitzt. Bestimmen Sie dann a so, dass der zugehörige Graph einen Terassenpunkt aufweist.

\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} (a + 2) x^{3} + a x^{2} + 2

mit a Element

R

▲

a > 0

und

D

= R

Ich habe schon mal die erste Ableitung gemacht und sie dann 0 gesetzt.

x^{3} - (a + 2) x^{2} + 2 a x = 0

danach jabe ich

x

ausgeklammert und das sieht dann so aus

x (x^{2} - (a + 2) x + 2 a) = 0

So ich würde jetzt die Mitternachtsformel anwenden aber da kommt nur schmarn dabei raus.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Tangente / Steigung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:19 Uhr, 22.05.2013

Bis dahin richtig.

0 = x \cdot (x^{2} - (a + 2) x + 2 a)

Ein Produkt wird Null, wenn ein Faktor Null ist.
Der erste Term ist

x,

den setzen wir Null.
Damit ist der erste Extremwert (waagerechte Tangente)

\to x = 0

Jetzt schauen wir uns die Klammer an.

0 = x^{2} - (a + 2) \cdot x + 2 a

Ich hätte jetzt die pq-Formel angewendet. Die abc-Formel geht auch.

Wie hast Du jetzt weitergerechnet ?

isotuce aktiv_icon

19:27 Uhr, 22.05.2013

also die pq Formel haben wir in der SSchule leider nicht gelernt wobei ich sie viel einfacher als die MTF finde.

So also ich bestimme mein

a b

und

c

a = 1

b = - (a + 2)

c = 2 a

ich würde es jetzt wie gesagt in die MTF einsetzen, doch in der Lösung steht was anderes.

Ma-Ma aktiv_icon

19:40 Uhr, 22.05.2013

Das ist auch richtig.

Damit wir mit dem

a

in der Funktionsgleichung und dem

a

in der MTF nicht durcheinanderkommen, schreibe ich die Ausgangsformel mal um.

0 = x^{2} - (e + 2) x + 2 e

Somit

a = 1

b = - (e + 2)

c = 2 e

(Korrektur)

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Damit es nicht zu unübersichtlich wird, sollten wir uns erstmal um den Wurzelausdruck kümmern.

\sqrt{b^{2} -}

4ac)

= \sqrt{{(- (e + 2))}^{2} - 4 \cdot 2 e} = \sqrt{{(- 1)}^{2} \cdot {(e + 2)}^{2} - 4 \cdot 2 e} = \sqrt{1 \cdot {(e + 2)}^{2} - 4 \cdot 2 e} = ... ... ... . .

. ?

(Hatte das

c

vergessen und nachträglich korrigiert.)

isotuce aktiv_icon

19:45 Uhr, 22.05.2013

Was ich nicht genau verstehe ist wieso die Formel nicht

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

ist?

Ma-Ma aktiv_icon

19:48 Uhr, 22.05.2013

Mein Fehler, habe das korrigiert.

isotuce aktiv_icon

19:52 Uhr, 22.05.2013

Genau so weit komme ich auch. Ich würde jetzt die Wurzel von

{(e + 2)}^{2}

ziehen

= e + 2

und

4 \cdot 2 e = 8 e

(e + 2) - \sqrt{8 e}

richtig? weil von einer negativen Zahl kann man doch nicht die Wurzel ziehen.

Ma-Ma aktiv_icon

19:57 Uhr, 22.05.2013

Ich glaube, da liegt Dein Fehler.

Hast Du die 1. Binomische Formel angewendet ?

{(e + 2)}^{2} = e^{2} + 4 e + 4

Somit haben wir unter Wurzel:

\sqrt{e^{2} + 4 e + 4 - 8 e} = \sqrt{e^{2} - 4 e + 4}

Der Term unter der Wurzel schreit nach der 2. Binomischen Formel

. .

. siehst Du das ?

Atlantik aktiv_icon

20:02 Uhr, 22.05.2013

Lösung mit quadratischer Ergänzung :

x^{2} - (a + 2) \cdot x + 2 a = 0

x^{2} - (a + 2) \cdot x = - 2 a

Nun die quadratische Ergänzung

{(\frac{- (a + 2)}{2})}^{2} = \frac{a^{2} + 4 a + 4}{4}

auf beiden Seiten addieren:

x^{2} - (a + 2) \cdot x + \frac{a^{2} + 4 a + 4}{4} = - 2 a + \frac{a^{2} + 4 a + 4}{4} = \frac{- 8 a + a^{2} + 4 a + 4}{4} = \frac{a^{2} - 4 a + 4}{4} = \frac{{(a - 2)}^{2}}{4}

{(x - \frac{a + 2}{2})}^{2} = \frac{{(a - 2)}^{2}}{4} | \sqrt{}

x - \frac{a + 2}{2} = \pm \frac{a - 2}{2}

x_{1} = \frac{a + 2}{2} + \frac{a - 2}{2} = \frac{a}{2} + 1 + \frac{a}{2} - 1 = a

x_{2} = \frac{a + 2}{2} - \frac{a - 2}{2} = \frac{a}{2} + 1 - \frac{a}{2} + 1 = 2

mfG

Atlantik

(geändert wegen Leichtsinnsfehler)

Danke Euch. Jetzt stimmt es.

Ma-Ma aktiv_icon

20:05 Uhr, 22.05.2013

@atlantik: Was soll das ? isotuce ist gerade am Rechnen und Verstehen und Du funkst dazwischen ? Neue Lösungsvorschläge bitte erst, wenn eine Rechnung fertig ist. Danke.

Atlantik aktiv_icon

20:06 Uhr, 22.05.2013

Entschuldigung!

mfG

Atlantik

isotuce aktiv_icon

20:11 Uhr, 22.05.2013

Okay also ich dachte mir immer wenn es

^2

ist könnte man sofort die Wurzel ziehen. Also habe ich dann unter der Wurzel

\sqrt{e^{2} - 4 e + 4 - 8 e}

?

PS: danke Atlantik das du versuchst mir zu helfen doch deine Antwort ist falsch. Die Lösung ist

x 2 = a

und

x 3 = 2

Ma-Ma aktiv_icon

20:14 Uhr, 22.05.2013

Aus einer Summe kannst Du keine Wurzel (direkt) ziehen, also erst umformen !
Kannst Du die 2. Binomische Formel unter der Wurzel erkennen ?

- - - - - - - - - -

PS: Ja, das Ergebnis von Atlantik ist falsch (er wird seinen Post aber sicher noch ändern...).

isotuce aktiv_icon

20:17 Uhr, 22.05.2013

Meinst du

e

ausklammern

e (e - 4 e)

es tut mir leid wenn ich mich so dumm anstelle

: S

Ma-Ma aktiv_icon

20:25 Uhr, 22.05.2013

Ganz wichtig: Binomische Formeln kennen !

Schlage jetzt Deine Formelsammlung auf und suche die 2.Binomische Formel !

{(a - b)}^{2} = ... . .

- - - - - - - - -

Dann schaue auf Deinen Wurzelausdruck.

{(e + 2)}^{2} = e^{2} + 4 e + 4 \to

siehe 1. Binomische Formel

- - - - - - - -

\sqrt{{(e + 2)}^{2} - 8 e} = \sqrt{e^{2} + 4 e + 4 - 8 e} = \sqrt{e^{2} - 4 e + 4}

- - - - - - -

(e^{2} - 4 e + 4) \to 2

. Binomische Formel

- - - - - - - -

Ich werde Dir das hier nicht vorsagen, da Binomische Formeln Schulwissen der 10.Klasse sind und ein Abiturient das aus dem Schlaf können muss

. .

- - - - - - - -

isotuce aktiv_icon

20:29 Uhr, 22.05.2013

Es tut mir leid ich bin gerade nur ein bisschen durcheinander gekommen.
Also die Binomische Formel habe ich jetzt erkannt.

isotuce aktiv_icon

20:29 Uhr, 22.05.2013

Es tut mir leid ich bin gerade nur ein bisschen durcheinander gekommen.
Also die Binomische Formel habe ich jetzt erkannt.

Ma-Ma aktiv_icon

20:35 Uhr, 22.05.2013

Sehr gut. Also schreibe als Binomische Formel:

(e^{2} - 4 e + 4) = ... ... ... .

. ?

isotuce aktiv_icon

20:39 Uhr, 22.05.2013

{(e - 2)}^{2}

Ma-Ma aktiv_icon

20:41 Uhr, 22.05.2013

Korrekt. Das war das Schwerste an dieser Aufgabe.

Ich springe jetzt zur Wurzel zurück.

\sqrt{e^{2} - 4 e + 4} = \sqrt{{(e - 2)}^{2}} = ... ... ...

. ?

isotuce aktiv_icon

20:43 Uhr, 22.05.2013

Dürfte ich nicht jetzt die Wurzel auflösen?

(e - 2)

Ma-Ma aktiv_icon

20:54 Uhr, 22.05.2013

Das ist auch richtig.

\sqrt{{(e - 2)}^{2}} = (e - 2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Nun wieder zur MTF:

x = \frac{- b \pm \sqrt{(b^{2} - 4 a c)}}{2 a}

x = \frac{- (- (e + 2)) \pm \sqrt{...}}{2 a} = \frac{(e + 2) \pm (e - 2)}{2 \cdot 1} = \frac{(e + 2) \pm (e - 2)}{2} = ... ...

. ?

isotuce aktiv_icon

20:59 Uhr, 22.05.2013

Ich glaube ich habs jetzt. :-D)

also die MF lautet ja dann

- (e + 2) \pm e - 2 : 2

(- e - 2 + e - 2) : 2

x 2 = 2

- e - 2 - e - 2 : 2

x 3 = e

Ma-Ma aktiv_icon

21:07 Uhr, 22.05.2013

Ja. Wir hatten allerdings das a mit dem

e

ersetzt.

x_{1} = 0

x_{2} = a

x_{3} = 2

isotuce aktiv_icon

21:11 Uhr, 22.05.2013

Genau. Könnte ich am Schluss dann einfach wieder umschreiben oder ich rechne die ganze Aufgabe mit

a

. Ich muss die Aufgabe jetzt noch einmal mit einem klaren Kopf durchrechnen. Die Schritte habe ich ja jetzt schon :-) Danke nochmals.

isotuce aktiv_icon

21:11 Uhr, 22.05.2013

Genau. Könnte ich am Schluss dann einfach wieder umschreiben oder ich rechne die ganze Aufgabe mit

a

. Ich muss die Aufgabe jetzt noch einmal mit einem klaren Kopf durchrechnen. Die Schritte habe ich ja jetzt schon :-) Danke nochmals.

Ma-Ma aktiv_icon

21:14 Uhr, 22.05.2013

Ja, tue das.

- - - - - - - - - -

Für den Terassenpunkt

f'' (x) = 0

Da hast Du eine quadratische Gleichung, könntest also wieder die MTF anwenden

...

Ma-Ma aktiv_icon

21:20 Uhr, 22.05.2013

Nachtrag: In diesen Fall evtl. besser

\to

In 2.Ableitung die gefundenen Werte für

x

einsetzen und prüfen, mit welchen Werten

f'' (x) = 0

wird.

isotuce aktiv_icon

21:32 Uhr, 22.05.2013

Meine zweite Ableitung lautet

3 x^{2} - 2 (a + 2) x + 2 a

Hier setze ich jetzt die x-Werte rein also

0, a

und 2.

Wenn ich 0 einsetze bekomme ich

2 a

raus also gibt es keinen Terrassenpunkt da es ungleich 0 ist.
Wenn ich a einsetze schaut es so aus.

3 a^{2} - 2 (a + 2) a + 2 a

Ma-Ma aktiv_icon

22:01 Uhr, 22.05.2013

Bitte immer schön mathematisch korrekt schreiben.

f'' (x) = 3 x^{2} - 2 (a + 2) \cdot x + 2 a

Sattelpunkt: Notwendige Bedingung

f'' (x) = 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x = 0

f'' (0) = 2 a

0 = 2 a

Frage: Für welches a ist

2 a = 0

?
Ist die Anfangsbedingung

a > 0

einghalten ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

x = a

f'' (a) = 3 a^{2} - 2 (a + 2) \cdot a + 2 a = 3 a^{2} - 2 a (a + 2) = 3 a^{2} - 2 a^{2} - 4 a = a^{2} - 4 a

0 = a^{2} - 4 a

Frage: Für welches a ist

a^{2} - 4 a = 0

?
Ist die Anfangsbedingung

a > 0

einghalten ?

- - - - - - - - - - - - - - - - -

x = 2

f'' (2) = 3 \cdot 2^{3} - 2 (a + 2) \cdot 2 + 2 a = 3 \cdot 8 - 4 (a + 2) + 2 a =

usw, usf.
Frage: .. siehe oben

. .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

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