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Taylor-Polynom mit Integral

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Taylorpolynom

Kaito aktiv_icon

01:09 Uhr, 24.03.2015

Hallo Leute,

ich habe hier eine Aufgabe die ich nicht loesen kann. Es scheitert schon am Ansatz weil ich dazu weder was im Skript noch vergleichbare Uebungen gefunden habe. Bisher hatte ich nur Aufgaben wo man entweder ein Integral bestimmen soll oder ein Taylorpolynom aber nie beides zusammen.

Man betrachte die Funktion

f : R \to R

f (x) := \int {(sin (t))}^{2} d t

obere grenze des integrals

= x

untere grenze des integrals

= \frac{π}{2}

Berechnen Sie das Taylor-Polynom

T f,2, \frac{π}{2}

zweiter Ordnung von

f

zum Entwicklungspunkt

x := \frac{π}{2}

und zeigen Sie die Gueltigkeit der Fehlerabschaetzung

| f (x) - T f,2, \frac{π}{2} (x) | \leq \frac{π^{3}}{12}

fuer alle

x

∈

[0, π]

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

01:29 Uhr, 24.03.2015

Mach es "der Reihe nach".

\int {sin}^{2} (t) d t = \frac{1}{2} \cdot (t - sin (t) \cdot cos (t))

\int_{\frac{π}{2}}^{x} {sin}^{2} (t) d t = \frac{1}{2} \cdot (t - sin (t) \cdot cos (t)) |_{\frac{π}{2}}^{x} = \frac{1}{4} \cdot [2 \cdot x - 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) - π]

2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) = sin (2 \cdot x)

de facto geht es also um die Taylorreihe von

sin (2 \cdot x)

Kaito aktiv_icon

12:26 Uhr, 24.03.2015

Hallo Respon,

danke fuer deine schnelle Antwort.

Also ich komm beim Integral bis zum Schritt

\frac{1}{4} (2 x - sin 2 x - π)

. Wie vereinfachst du den weiter das du am Ende nur

sin (2 x)

dastehen hast ?

Respon

12:35 Uhr, 24.03.2015

Nein, so war es nicht gemeint ( siehe mein "de facto" )
Wir haben

\frac{1}{4} \cdot [2 \cdot x - 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) - π]

bzw.

\frac{1}{4} \cdot [2 \cdot x - sin (2 \cdot x) - π]

den Term

sin (2 \cdot x)

ersetzen wir jetzt durch die Reihenentwicklung ( bis zur gewünschten Ordnung ). Alles was "vorher" ist und "nachher" ist, bleibt vorerst erhalten und wird zuletzt - wenn möglich - noch reduziert.

z . B

sin (2 \cdot x) = - 2 \cdot (x - \frac{π}{2}) + \frac{4}{3} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{3} - . .

Kaito aktiv_icon

14:15 Uhr, 24.03.2015

Ja ok die Formel fuers Taylorpolynom lautet ja

f (\frac{π}{2}) + \frac{f' (\frac{π}{2})}{1!} \cdot (x - \frac{π}{2}) + \frac{f'' (\frac{π}{2})}{2!} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{2} . .

= - 2 \cdot (x - \frac{π}{2})

Setzen wir das dann in unsere urspruengliche gleichung anstatt

sin (2 x)

ein ?

das waere dann

\frac{1}{4} \cdot (2 x - 2 (x - \frac{π}{2}) - π) = 0

ich soll ja nun auch die Gueltigkeit der Fehlerabschaetzung zeigen

Reicht es da einfach die Werte einzusetzen ?

| sin (x) - (- 2) \cdot (x - \frac{π}{2}) | < \frac{π^{3}}{12}

Die "Normale" Fehlerabschaetzung waer ja

\frac{f''' (\frac{π}{2})}{3!} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{3} = \frac{4}{3} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{3}

Kaito aktiv_icon

11:38 Uhr, 26.03.2015

Kann mir bitte noch jemand bestaetigen, dass das am Ende so stimmt

Roman-22

03:10 Uhr, 30.03.2015

> Kann mir bitte noch jemand bestaetigen, dass das am Ende so stimmt
Was genau?

Du gibst an:

= - 2 \cdot (x - π / 2)

Soll das die gewünschte Taylor-Näherung 2.Ordnung der Angabe(Integral)funktion f(x) sein. Wenn ja, dann ist sie falsch. Die

- 2

gehören einfach weg. Richtig ist, dass die Taylor Näherung 2.Ordnung hier nur linear ist, weil bei der Taylorreihe nur ungerade Potenzen auftreten.

Die Taylor-Reihe ist allerdings

f (x) = x - \frac{π}{2} - \frac{1}{3} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{3} + \frac{1}{15} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{5} \mp \dots = x - \frac{π}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} [(- 1)^{k} \cdot \frac{2^{2 n - 1}}{(2 n + 1)!} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{2 n + 1}]

> Setzen wir das dann in unsere urspruengliche gleichung anstatt sin(2x) ein ?
> das waere dann 14⋅(2x-2(x-π2)-π)=0
Was soll das bedeuten?
Was willst du wo einsetzen und wozu?

> Die "Normale" Fehlerabschaetzung waer ja f'''(π2)3!⋅(x-π2)3=43⋅(x-π2)3
Was meinst du mit "normale" Fehlerabschätzung? Du kannst den Fehler, den du machst, wenn du eine ALTERNIERENDE Reihe abschneidest, mit dem Betrag des nächsen Glieds abschätzen.
Das bedeutet, dass du hier erst zeigen musst, dass die Reihenentwicklung von f(x) alternierende Vorzeichen hat. Und dazu reicht es nicht, bloß die ersten paar Glieder zu betrachten. Es muss allgemein gezeigt werden.
Warum du aber in der Abschätzung anstelle von f(x) sin(x) schreibst, ist mit schleierhaft.
Nachdem deine Reihe zum Glück alternierend ist, musst du hier doch nur zeigen, dass der Betrag des nächsten Glieds für alle

x \in [0; π]

immer kleiner als

\frac{π}{12}

ist.
EDIT: Keine Ahnung, warum das hier abgschnitten wird. Im Tex-Modus und auch in der Vorschau ist alles OK. Soll jedenfalls heißen: ...für alle x in [0; pi] immer kleiner als pi/12 ist.

Aber erst musst du deine Ableitungen in Ordnung bringen.

f ‴ (π / 2) = - 2

und nicht

- 8

, wie von dir offenbar angenommen.
EDIT: Was für ein Pfusch! Auch hier wird die TEX-Formel nicht mehr angezeigt.
Sollte lauten, dass die dritte Ableitung von f an der Stelle pi/2 -2 ist und nicht -8, wie von dir angenommen.

EDIT2: Jetzt, wo ich die "EDIT" Anmerkungen angebracht habe, sieht man die ursprüngliche Formeln auch wieder. Nehme ich die EDIT-Anmerkungen weg, fehlen auch teile der Formel. Mist!

Gruß R

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