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Teleskopsumme mit Fakultäten berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Fakultät, Summe, Telekaopsumme

piviertelquadrat aktiv_icon

08:29 Uhr, 29.10.2019

Hallo ich hänge an einer Aufgabe.

Die Aufgabe lautet wie folgt.
Wenden Sie einen Teleskoptrick an.

\sum_{k = 1}^{n} k! \cdot (k^{2} + k + 1)

Meine Rechenschritte sind bisher:

= k! \cdot (k^{2} + 2 k + k - 1)

= k! \cdot {(k + 1)}^{2} - k \cdot k!

= (K + 1)! \cdot (k + 1) - k! \cdot k

Hier komme ich aber nicht weiter.
Jemand eine Idee wie das weiter zu vereinfachen ist?

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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08:51 Uhr, 29.10.2019

Wie kommst du auf die 2. und 3. Zeile? Die Schritte sind falsch und höchst dubios.

www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%21%E2%8B%85%28k%5E2%2Bk%2B1%29+k%3D1+to+n

HAL9000

09:17 Uhr, 29.10.2019

Wolfram muss man dazu nicht bemühen. Aus

k^{2} + k + 1 = (k + 1)^{2} - k

folgt

\sum_{k = 1}^{n} k! \cdot (k^{2} + k + 1) = \sum_{k = 1}^{n} [(k + 1) \cdot (k + 1)! - k \cdot k!]

, da sollte die Teleskopstruktur erkennbar sein.

Falsch ist oben eigentlich nur die zweite Zeile - wenn man die ausklammert, sieht der Rest richtig aus. Es werden dann nur die falschen, oder besser gesagt gar keine Schlüsse gezogen.

piviertelquadrat aktiv_icon

12:59 Uhr, 29.10.2019

Danke euch. :-)

Mein Problem ist jetzt hier das ich Teleskopsumme nur mit einem Bruch kenne was ja hier nicht der Fall ist.

Ich hätte jetzt so weitergemacht:

= \sum_{k = 1}^{n} (k + 1) \cdot (k + 1)! - \sum_{k = 0}^{n - 1} k \cdot k!

Dann eine Indexverschiebung der zweiten Summe:

= \sum_{k = 1}^{n} (k + 1) \cdot (k + 1)! - \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) \cdot (k + 1)!

Wie geht's weiter? Ich stehe komplett auf dem Schlauch....

Dankeschön.

ledum aktiv_icon

15:43 Uhr, 29.10.2019

Hallo
schreib von der ersten Summe das letzte Glied einzeln, von der zweiten das erste Glied.
Gruß ledum

HAL9000

15:51 Uhr, 29.10.2019

Teleskopsumme hat nichts primär mit Brüchen zu tun, sondern das ist einfach

\sum_{k = 1}^{n} (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{1}

,

im vorliegenden Fall für die spezielle Wahl von

a_{k} := k \cdot k!

.

Natürlich kann man das Tippeltappeltour mit Summen und Indexverschiebung nochmal nachvollziehen, aber ich dachte, das kennst du alles schon, denn du selbst warst es doch, der mit dem Stichwort "Teleskoptrick" hier aufgekreuzt ist?

piviertelquadrat aktiv_icon

17:01 Uhr, 29.10.2019

Danke für eure tatkräftige Unterstützung :-)
Ich werde einfach mit der Teleskopsumme nicht warm... Ich kriege es leider nicht wirklich in meinen Kopf...

Also käme dann nach dem Schritt

\sum_{k = 1}^{n} (k + 1) \cdot (k + 1)! - \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) \cdot (k + 1)!

das Ergebnis

= (n + 1) \cdot (n + 1)! - 1

Richtig?

Ich bin echt am verzweifeln

: \frac{-}{}

HAL9000

17:15 Uhr, 29.10.2019

Beide Summen haben den selben Summandenterm, nur unterschiedliche Summationsbereiche. Letztere überschneiden sich für

k = 1, \dots, n - 1

, d.h., diese Summanden sind in BEIDEN Summen gleichermaßen vorhanden. Durch die Subtraktion löschen sich diese Anteile gegenseitig aus, es verbleiben nur noch zwei Summen mit jeweils nur einem Summanden:

\sum_{k = 1}^{n} (k + 1) \cdot (k + 1)! - \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) \cdot (k + 1)! = \sum_{k = n}^{n} (k + 1) \cdot (k + 1)! - \sum_{k = 0}^{0} (k + 1) \cdot (k + 1)!

= (n + 1) \cdot (n + 1)! - (0 + 1) \cdot (0 + 1)! = (n + 1) \cdot (n + 1)! - 1

.

P.S.: Als eher schreibfauler Mensch hätte ich übrigens die andere Summe indexverschoben, d.h.

\sum_{k = 2}^{n + 1} k \cdot k! - \sum_{k = 1}^{n} k \cdot k!

. Aber jeder nach seiner Facon...

piviertelquadrat aktiv_icon

17:31 Uhr, 29.10.2019

Ja jetzt wird es klarer...
Super, vielen vielen Dank!

Danke für eure Mühe!! :-)

HAL9000

07:04 Uhr, 30.10.2019

Offtopic-Frage an die Boardbetreiber:

Kann mir mal einer erklären, warum der hiesige LaTeX-Prozessor in der ersten Formelzeile meines letzten Beitrags so übertrieben riesige Klammern erzeugt hat? Sieht kurios aus, dabei hatte ich ganz normale () eingesetzt!

ermanus aktiv_icon

10:33 Uhr, 30.10.2019

Hallo HAL9000,
ich beobachte dies Klammerverhalten auch seit ein paar Tagen und habe
mich dann durch "\left(", "\right)" unter erheblichem Mehraufwand "gerettet".
Ich habe das Gefühl, dass vor Kurzem eine neue Javascript-Bibliothek
für MathJax eingehängt wurde.
Ich werde heute abend mal eine entsprechende Anfrage/Meldung
an den Betreiber absetzen ...
Gruß ermanus

HAL9000

11:09 Uhr, 30.10.2019

Vielen Dank für die Auskunft. Dann wird das

> habe mich dann durch "\left(", "\right)" unter erheblichem Mehraufwand "gerettet".

einstweilen auch mein Workaround sein, wenn ich wieder mal sowas beobachte, in der Hoffnung auf einen baldigen MathJax-Fix.

ermanus aktiv_icon

17:04 Uhr, 30.10.2019

Hallo HAL9000,
habe ein bisschen rumprobiert.
Im Edge-Browser ist die Darstellung OK.
Der Bug hat sich bei mir beim letzten Firefox-Update
eingeschlichen. Habe mal eine ältere Version von Firefox
runtergeladen und siehe da: in der älteren Version taucht
das üble Klammerverhalten nicht auf.
Gruß ermanus

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