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Hallo, meine beiden Fragen lauten: Was ist ein Tensor? Wie rechnet man mit ihnen? |
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Wie ich (und andere) bereits angemerkt haben und du aus den Antworten auch herauslesen solltest, kann man dir diese Frage nicht sinnvoll beantworten, solange du nicht sagst, was du weißt. Du solltest also mal anfangen dich in die Thematik einzulesen und erst danach Fragen zu stellen, wenn du irgendwas bestimmtes nicht verstehst. Das hättest du auch in dem anderen Thread schon machen können. Interessierte finden ihn hier: http//www.onlinemathe.de/forum/Traegheitstensor Es ist mir im übrigen unverständlich, dass du dich für eine sehr gute Erklärung bedankst und danach dieselbe Frage nochmal stellst... |
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Ich hatte mich dei dem Trägheitstensor für eine gute Antwort bedankt, jetzt frage ich allgemein wegen Tensoren. |
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Da ich Physiker bin, bekommst du von mir die Physikerantwort. Der Mathematiker definiert den begriff ein wenig abstrakter als der Physiker, aber ich denke die Physikerdefinition reicht aus. Zunächst kann man sich einen tensor als eine mehrdimensionale Matrix vorstellen. Ein Tensor nullter Stufe ist einfach eine Zahl. Zum Beispiel die zahl 5 kann man als tensor nullter stufe bezeichnen. ein tensor erster stufe ist ein spaltenvektor. . etwa sowas: . Tatsächlich sind aber nicht zwangsläufig alle Spaltenvektoren Tensoren, worauf ich später zurückkomme. Ein Tensor zweiter stufe ist eine quadratische matrix, . ein tensor dritter stufe wäre jetzt ebenfalls so ein quadratisches schema, nur in drei Dimensionen. Ein tensor k-ter stufe ist ein quadratisches zahlenschema in k-dimensionen. Nun ist aber nicht jedes dieser Zahlenschemata ein Tensor. Man nennt es erst Tensor, wenn die komponenten bzgl. eines Basiswechsels ein ganz bestimmtes Transformationsverhalten aufweisen. je nach dem unterscheidet man zwischen kontra- und kovarianten Tensoren. ist es denn bis hierhin verstanden? |
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Ja, ich habe es sehr gut verstanden. |
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Wann machst du denn mit der Definition weiter? |
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ok beginnen wir mit ko- und kontravarianten vektoren, was ja nichts anderes als tensoren 1. stufe sind (tensoren nullter stufe sind langweilig. da passiert nicht viel) es gibt mehrere verschiedene Arten einen Vektor darzustellen. Dies geschieht in der Regel mit einem Satz an Basisvektoren. Nehmen wir an, wir spannen den n-dimensionalen euklidischen Raum durch solcher Vektoren auf. Dann lässt sich jeder Vektor als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. dann ist ein Vektor a gegeben durch: Die Koeffizienten heißen Komponenten des vektors. Wenn es sich bei den um die kartesische basis handelt, stellt man das . als Spaltenvektor dar. Jetzt kannst du a auch durch eine andere Basis darstellen. In dieser Basis ändern sich selbstverständlich die koordinaten. Es ist Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Koordinaten und ? Nun die Basisvektoren lassen sich als linearkombination der Basisvektoren darstellen, also Diese Summe kann ich auch als Matrixprodukt darstellen, wenn ich vereinbare, dass (also die matrix mit den als komponenten) Dann wird die Summe zu: Diese Gleichung kann ich nach auflösen, wenn ich mit der inversen Matrix multipliziere. Es folgt: Die Darstellung des vektors lässt sich auch ganz bequem über spaltenvektoren formulieren. mit der vereinbarung: und folgt: und Es muss also gelten. nun setze ich den ausdruck für ein: Damit die gleichung erfüllt ist, muss also gelten. Das ist die transformationsgleichung für die Komponenten. Wenn die Basis mit der Matrix tranformiert, tranformieren also die Komponenten mit der inversen Matrix. Da sich basis und komponenten gegensätzlich transformieren, spricht man hier von kontravarianten vektoren. Du bist es sicherlich gewohnt die Komponenten mit einem nach unten gesetzten index darzustellen, also oder sowas als k-te komponente. kontravariante komponenten kennzeichnet man aber mit einem hochgestellten index, also . das ist nicht zu verwechseln mit einer potenz. Dagegen kennzeichnet man die noch einzuführenden kovarianten Vektoren mit einem tiefgestellten index, also . in einem kartesischen koordinatensystem sind zum beispiel ko- und kontravariante vektoren identisch. wenn du bis hierher alles verstanden hast, können wir damit beginnen kovariante vektoren einzuführen und von da aus ist es dann nicht mehr weit den tensor k-ter stufe oder genauer den tensor kontravariant in stufe und kovariant in stufe einführen. Die hier eingeführten vektoren, die man auch schon in der schule kennenlernt, sind nichts anderes als tensoren kontravariant in stufe 1 und kovariant in stufe 0 |
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Eine kleine Frage hätte ich noch, wie würde ich die Matrix als Tensor darstellen.(Beispiel) |
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Genau so, wie sie da steht. :-) Der Tensorcharakter kommt erst zum Tragen, wenn du die Matrix transformierst. Aber OmegaPirat war ja erst bei Vektoren, daher kommt die Transformationsvorschrift für Tensoren zweiter Stufe erst noch. |
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Hallo Mathematica Zu so einem zahlenschema gehören immer zwei Dinge. Die Darstellung und die Angabe der Komponenten. Nehmen wir mal den vektor: die komponenten sind jetzt . um damit aber einen vektor im dreidimensionalen raum zu beschreiben, musst du natürlich noch angeben was diese komponenten überhaupt bedeuten sollen. Zum Beispiel kann dies bedeuten, dass ein kartesisches koordinatensystem vorliegt und du eine einheit in richtung der x-achse, zwei einheiten in richtung der y-achse und 3 einheiten in richtung der z-achse gehst. Wenn man nichts weiter zum spaltenvektor angibt, meint man damit übrigens per Konvention immer genau diese art der darstellung, nämlich die kartesische Darstellung. die 1 kann jetzt aber in einer anderen darstellung bedeuten, dass du dich eine einheit entlang einer um 30° zur x-achse geneigten Achse bewegen sollst. Dadurch kriegst du dann selbstverständlich einen anderen vektor. die frage ist jetzt wie sich bei verwendung einer anderen darstellung die komponenten ändern müssen, so dass in dieser darstellung der gleiche vektor beschrieben wird. Wie sich die komponenten transformieren müssen, habe ich in meinem vorigen beitrag gezeigt, nämlich genau anders herum wie die basisvektoren. Du kannst Vektoren aber auch auf eine ganz andere art und weise darstellen. betrachte mal ein zweidimensionales koordinatensystem deren achsen bspw. einen winkel von 30° einschließen. die richtung der achsen kannst du durch zwei einheitsvektoren und festlegen. jetzt kann du einen vektor durch seine projektionen auf diese achsen beschreiben. Nimm also einen Vektor und projiziere ihn auf die richtung . der betrag des projizierten vektors ist meine erste komponente. jetzt projiziere den vektor auf die richtung . das ist die zweite komponente. die projektionen berechnen sich mit dem skalarprodukt, nämlich und so kannst du auch einen vektor in der form darstellen, wenn du art der darstellung mit angibst. man kennzeichnet die komponenten, welche man nach dieser darstellung erhält mit einem tiefgestellten index. Solche vektoren bezeichnet man als kovariante Vektoren. Denn, wenn du die basis zu einer neuen basis wechselst, transformieren sich die komponenten und genauso wie die basisvektoren. Zu den Tensoren höherer stufe kommen wir noch. Das zahlenschema plus die art der darstellung führt zu den tensoren. die art der darstellung hat nämlich einfluss auf die transformation der komponenten (das sind die zahleneinträge des zahlenschemas), wenn ich die basis wechsel. |
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War das die Tensorschreibweise für den Vektor ? |
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Sieht die Tensorschreibweise nicht irgendwie so aus T"a ? Oder so ähnlich? |
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Und wie rechnet man mit ihnen? |
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Wann antwortet denn jemand? |
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Was soll denn der Zeichensalat in deinem Post von 16:50 bedeuten? |
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Ich hätte vor her immer gedacht, dass Tensoren irgendwie so aussehen.Weil der Vektor in Tensorschreibweise doch nicht so aussieht. |
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Wie "so"? Was sollen denn die Striche heißen? Was ist T, was ist a, was ist A1? Vielleicht hat diese Forensoftware wieder Mist gebaut, aber bei mir steht da T"a 1' damit kann ich nicht so viel anfangen. |
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So was . |
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schau mal hier rein www.kostenlose-online-rechner.de |
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Und was soll ich mi der Seite anfangen? |
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Was sind denn das für Striche in den Indizes? Die Komponenten eines Tensors haben in der Regel viele Indizes: Aber so eine Schreibweise kennt man ja auch schon von Matrizen und Vektoren: Die Komponenten eines Vektors schreibt man , die Komponenten einer Matrix schreibt man . Bei Tensoren höherer Stufen kommen mehr Indizes zusammen, aber das Prinzip ist das gleiche. Die einzige kleine Feinheit ist, dass es obere und untere Indizes gibt, aber darauf dürfte OmegaPirat noch kommen. |
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"dass es obere und untere Indizes gibt, aber darauf dürfte OmegaPirat noch kommen." darauf bin ich schon gekommen, zumindest bei Vektoren. Du hast übrigens die Allgemeinheit eingeschränkt. Dein tensor ist sowohl ko- als auch kontravariant in n-ter stufe^^. @Mathematica Bei handelt es sich zunächst um die Indexschreibweise, aber wie gesagt, Matrizen kann man auch so darstellen. Zum Beispiel kannst du den Trägheitstensor so darstellen, nämlich mit als kronecker-delta und sowie als massendichte. Jedenfalls scheint mir, dass dir einfach gewisse Grundlagen fehlen, um den Tensorbegriff zu verstehen. Wenn du aber mit dem Massenträgheitstensor rechnen willst (wie in deinem anderen Thread), musst du gar nicht wissen was ein Tensor ist. naja irgendwann wenn man sich mal tiefergehend mit der relativitätstheorie auseinandersetzt oder in die quantenfeldtheorien einsteigen möchte, sollte man mal damit beginnen zu verstehen was ein tensor ist. für viele zwecke reicht es aber aus zu wissen was eine matrix ist und die tensoren als matrizen zu betrachten. |
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Welche Grundlagen denkst du fehlen mir denn, dann kann ich sie nämlich nachholen.? |
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OmegaPirat, hast Recht, weiß auch nicht, was ich mir da gedacht hab. :-) Mathematica, was hast du denn noch für Fragen? |
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Meine Frage ist welche Grundlagen mir noch fehlen könnten. Dann könnte ich die nämlich lernen. |
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Welche Grundlagen fehlen dir um was zu verstehen? |
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Danach frage ich ja. Schließlich hatte OmegaPirat die Vermutung gemacht, mir würden noch gewisse Grundlagen zum Verständnis des Tensors fehlen. Und damit ich diese nachholen kann, frage ich welche Grundlagen er mit seiner Vermutung meinte. |
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Wieso antwortet denn keiner? |
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Ich schätze, weil OmegaPirat momentan nicht online ist und sonst kann dir keiner sagen, was für Vorwissen dir fehlt - schließlich kannst du selbst nicht sagen, _wofür_ dir dieses Vorwissen eigentlich fehlt... |
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@mathematica es ist schwierig dir zu sagen was dir an Vorwissen fehlt, weil niemand hier dein Vorwissen kennt. Jedenfalls solltest du dich intensiv mit basistransformationen befassen. Mach dir klar was eine Vektorbasis ist, welche unterschiedlichen Möglichkeiten es gibt Vektoren darzustellen, wie man eine Basis transformiert... Weißt du was ein vektorraum ist? Das wäre auch ganz hilfreich. |
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Ja, ich habe basistransformationen gelernt. |
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Wann antwortet einerrrrrr....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
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Ich weiß nicht, was für Antworten du erwartest. Tensoren sind Anhäufungen von Zahlen, die sich auf bestimmte Art transformieren. Wenn du wissen möchtest, was man sich unter einem Tensor vorstellen kann, dann wird man dir das nicht so leicht beantworten können. Mathematiker haben für Tensoren eine ziemlich formale Definition, Physiker begnügen sich mit den physikalisch interessanten Eigenschaften (eben den Transformationseigenschaften) und arbeiten damit, ohne vorstellungstechnisch weiter ins Detail zu gehen. Es gibt in der Physik mehrere häufig verwendete Tensoren (metrischer, Riemann- und Ricci-Tensoren in der ART, Energie-Impuls-Tensor in der relativistischen Hydrodynamik, Spannungstensor, Trägheitstensor, elektromagnetischer Feldtensor, usw.). Manchmal kann man Teilen dieser Tensoren einen physikalischen Sinn zuordnen, oft geht das aber nicht oder nicht so einfach - zum Beispiel beim Riemann-Tensor. Also sag uns doch bitte, was du noch wissen möchtest, sonst kann man dir kaum helfen... |
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Meine Frage ist wie man zwei Tensoren multipliziert oder genauer ein tieferes Verständnis zum äußeren Tensorprodukt. . Weiß ich nicht wie man das folgende ausrechnet( soll tensorprodukt sein, sieht dem Zeichen am ähnlichsten): Könntest du mir ein paar Sachen über das Tensorprodukt erklären? :-) |
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So wie du es geschrieben hast, macht es keinen Sinn. Das Tensorprodukt ist ein Produkt von zwei Tensoren, nicht von den Komponenten zweier Tensoren. Wenn du also das Tensorprodukt eines Tensors T mit sich selbst berechnen möchtest, dann gilt: Die Komponenten werden also einfach multipliziert. |
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Und wieso ist In meinem Buch steht bis hier hin kann ich es ja auch noch nachvollziehen aber das folgende nicht mehr Meine Frage ist wieso ist. |
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Ich schätze, dass in deinem Buch irgendwas für die Komponenten von T eingesetzt wird - um hier weiterzumachen, müsste man also wissen, wie T in deinem Buch definiert ist. |
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Na ja wichtiger ist mir wie man einen skalar als Tensor schreibt.( was eben der Fall war ) Im Internet finde ich nur wie auch von OmegaPirat dass tensoren 1.Stufe Skalare sind und . Könntest du mir sagen wie man skalare als Tensor schreibt? |
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Entschuldigung, skalare sind natürlich tensoren 0.Stufe... |
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Tensoren k-ter Stufe haben k Indizes und entsprechend n^k Komponenten. Ein Skalar hat als Tensor nullter Stufe 0 Indizes und n^0=1 also nur eine Komponente. |
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Was sind denn die Komponeneten eines Tensors? Aber es spielt doch auch eine Rolle was für Indizes ein Tensor trägt? Und wie ist 4 als Tensor geschrieben ? :-) |
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Mit Skalaren .ter Stufe meinst du doch eine Zahl mit dem wert ? Oder nicht? |
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Tut mir Leid, hab mich verschrieben, ich meinte Tensoren k-ter Stufe, nicht Skalare k-ter Stufe. Hab's ausgebessert. Die Komponenten eines Tensors sind "Einträge", die bei bestimmten Indizes sitzen. Zum Beispiel die Komponenten des Vektors sind , , . Das wäre ein Tensor erster Stufe. Bei einem Tensor zweiter Stufe werden die Komponenten mit zwei Indizes nummeriert, bei Tensoren k-ter Stufe mit k Indizes. Wenn jeder Index n Werte annehmen kann, hat ein Tensor k-ter Stufe also insgesamt Komponenten. 4 als Tensor geschrieben ist einfach nur 4. Nachdem 4 offenbar ein Skalar, also ein Tensor 0-ter Stufe ist, gibt es auch keine Indizes, die einzige Komponente ist der Skalar selbst - eben 4. |
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Ah, danke...;-) Wie ist es denn mit Vektoren? Das wo ich hinaus will, ist die Darstellung mit Tensoren, weil dann kann ich die Rechenregeln ja auch selber erlernen. Jetzt nur noch eine Frage: Was sind denn die Komponenten eines Tensors? Meine Vermutung: . mit Vektorraum und Dualraum Dann ist doch die Komponente des Tensors V? Owohl das auch nicht sein kann da der Tensor Komponenten haben sollte. |
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Ich glaube, du missverstehst hier etwas. Nehmen wir das . und stehen _nicht_ für die Stufen des Tensors! und sind nur Platzhalter für Indizes. Nachdem es zwei dieser Platzhalter (kurz: zwei Indizes) gibt, ist das ein Tensor zweiter Stufe (genauer gesagt ein einfach kovarianter einfach kontravarianter Tensor, denn es gibt einen oberen und einen unteren Index). Nehmen wir an, die Dimension (nicht zu verwechseln mit der Stufe!) des Tensors sei 4, wie das zum Beispiel bei den Tensoren in der allgemeinen Relativitätstheorie der Fall ist. Dann kann jeder der beiden Indizes und Werte von 1 bis 4 annehmen. Nehmen wir uns irgendwelche Werte als Beispiel, sagen wir und . Dann ist das zugehörige "Ding" die (2,1)-Komponente von . Oder nehmen wir ein reales Beispiel aus der Physik, den Riemanntenor. Das ist ein Tensor der Stufe 4, wobei in der Regel der erste Index oben geschrieben wird. Seine Komponenten sehen also so aus: , wobei jeder Index Werte von 0 bis 3 annehmen kann (in der ART wird die Nummerierung gern bei 0 statt bei 1 angefangen, der Index 0 steht dann für die Zeit, 1 bis 3 für die Raumkoordinaten). Der Riemanntensor hat Komponenten, die aber nicht alle unterschiedlich sind - das führt hier aber zu weit. |
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Kann man die Komponenten eines Tensors defieniren? Weil irgendwie will ich immer noch nicht verstehe, was die Komponenten eines Tensors sind... |
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Nehmen wir eine Matrix , dann sind ihre Komponenten: Bei Tensoren sieht es genauso aus, nur dass die Komponenten je nach Stufe des Tensors mit mehr oder weniger Indizes nummeriert werden. |
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Ah...jetzt habe ich se verstanden. Aber wofür braucht man Tensoren? Und wenn man . B. Einen Tensor 2.Stufe verjüngt, was wird eigentlich mit der transformierten Matrix, eigentlich müsste sie doch zu einer Zahl werden? Weil ein tensor verjüngt ist 2 Stufen tiefer also wird es in diesem Fall ein tensor 0.Stufe =skalar=Zahl. :-D) |
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Zur Verjungung: Ja, wenn man einen Tensor zweiter Stufe verjungt, kommt ein Skalar raus. Das entspricht dem Bilden einer Spur bei einer Matrix. Wozu man Tensoren braucht: Ich weiß nicht, wozu Mathematiker Tensoren brauchen, vielleicht als Selbstzweck, aber was die Physiker angeht, dann wäre die gesamte theoretische Physik ohne Tensoren undenkbar. Die allgemeine Relativitätstheorie ist in Tensorgleichungen formuliert, die spezielle Relativitätstheorie und die Elektrodynamik haben tensorielle Formulierungen (die viel schöner sind, als die nicht-tensoriellen). Viele Gebiete der Physik wurden mittlerweile mit der speziellen Relativitätstheorie verheiratet und wurden auch tensoriell formuliert, zum Beispiel die Hydrodynamik. Ich denke, auch in der Quantenfeldtheorie arbeitet man mit Tensoren - da hab ich aber noch nicht die entsprechende Vorlesung gehört und kann nichts dazu sagen. |
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Ah, also sind sie sehr nützlich... Noch eine Frage: Könntest du mir bei folgender Aufgabe helfen? Welche der Größen ist ein Tensor? Wenn ja, ist er kontravariant oder kovariant, welche Stufe hat er? :-) |
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Ja gerne, nur sehe ich hier keine Größen... |
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.....ups... :-) So, hier sind die Größen: und . |
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Und hast du irgendwelche Ideen? Wie stellt man überhaupt fest, ob eine Größe ein Tensor ist? |
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Mit der Quotientenregel, aber trotzdem weiß ich nicht so ganz wie ich daran gehen soll... |
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Wie würdest du denn die beiden Größen in eine anderes Koordinatensystem transformieren? Also wir geben uns ein zweites Koordinatensystem (das bedeutet ), das irgendwie von den alten Koordinaten abhängt, wir tun also so, als würden wir die Transformation kennen. Wie würdest du die beiden Größen und nun jeweils durch die entsprechenden Größen und in den neuen Koordinaten ausdrücken? |
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Keine Ahnung... |
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Angenommen, wir sind eindimensional, dann haben wir nur jeweils eine Komponente: y und x. Wir wollen also durch ausdrücken. Angenommen wir haben ein Integral und wollen das schreiben als . Wie würdest du das machen? |
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..das kommt doch auf die Komponenten an, weil wenn ist es doch anders als wenn ist.... Oder seh ich das falsch? |
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Das siehst du falsch und ich sehe auch nicht, wie du darauf kommst. Wenn du in einem Integral die Variablen tauschst (Substitution), machst du dir doch keine solchen Gedanken, oder? |
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Nein, das tue ich nicht... Aber was bringt es uns die Größen mit anderen Variablen zu schreieben? |
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Eine Substitution ist nur ein Spezialfall einer Koordinatentransformation und um herauszufinden, ob ein Objekt ein Tensor ist, muss man gerade seine Transformationseigenschaften prüfen. |
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Könntest du dies machen? Die Transformationsgesetze eines Tensors 1. und 2. Stufe kenne ich zwar, aber ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll... |
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Sagt die denn das totale Differential etwas? |
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Den Begriff habe ich natürlich schon gehört, aber die Bedeutung ist mir unbekannt. |
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Für eine Funktion mehrerer Variablen gilt oder mit Einsteinscher Summenkonvention . Das ist das totale Differential von f. Versuche das auf die Funktion anzuwenden. |
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Stimmt das? Und noch eine Verständnisfrage: Was heißt denn oder allgemeiner eigentlich? |
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das bedeutet, dass du um ein infinitesimales stückchen in richtung der koordinate gehst. |
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Ob infinitesimal groß oder infinitesimal klein hängt doch von der Koordinate ab? |
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Siehst du, Mathematica, ich glaube, ich kann jetzt nachvollziehen, was OmegaPirat über dein fehlendes Vorwissen gesagt hat. Ich weiß nicht, in welche Klasse du gehst, aber allein die Tatsache, dass du noch auf die Schule gehst, lässt darauf schließen, dass dir ordentlich was an Vorwissen fehlen dürfte, um dich mit Tensoren zu beschäftigen. Ich finde es sehr begrüßenswert, wenn jemand versucht sich Sachen beizubringen. Aber das hat zwei Probleme: Erstens müssten wir jetzt all das, was dir an Vorwissen fehlt, aufrollen - das nimmt viel Zeit und Mühe in Anspruch. Der Thread ist eh schon so lang, dass die "Frage einblenden/ausblenden"-Funktion nicht mehr funktioniert. ;-) Was mich angeht, hab ich gerade mit meiner Bachelor-Arbeit ordentlich zu tun und dieses Thema hier weiterzuspinnen kostet auf lange Sicht gesehen seine Zeit. Zweitens - und das ist aus meiner Sicht viel wichtiger - wir können dir zwar zeigen, wie man mit Tensoren rechnet und wie man feststellt, ob ein Objekt ein Tensor ist, und du wirst das Gefühl haben mit Tensoren umgehen zu können. Dann gehst du an die Uni und kriegst es dort mit den Tensoren zu tun - nachdem du ja schon mit ihnen rechnen kannst, wirst du bestimmt problemlos mit den Übungsblättern zu diesem Thema klarkommen. Aber: Was dir fehlen wird ist ein Verständnis für die Mathematik die dahintersteckt. Dieses Verständnis erhält man nur, wenn man sich lang mit dem Thema beschäftigt und sich auch in die Hintergründe einliest. Wenn man das Rechnen schon vorher gelernt hat, wird man das Gefühl haben, dass es unnötig ist, und so kann man am Ende des Tages rechnen, hat aber keine Ahnung, was man denn da überhaupt tut. Ich kann auch selbst nicht von sich behaupten, ordentlich Ahnung von den mathematischen Hintergründen der Tensorrechnung zu haben. Aber umso schlimmer für dich, denn das einzige, was ich dir werde beibringen können, ist das Rechnen und bestenfalls das allernötigste an Verständnis der Hintergründe. Ich an deiner Stelle würde warten, bis du eine Vorlesung zu dem Thema hören musst, dann hast du alle Möglichkeiten, dich ernsthaft damit auseinanderzusetzen und wirst so ein tieferes Verständnis entwickeln, als wenn du jetzt das bloße Rechnen lernst. |
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Ah ja, und was würdest du mir raten zu lernen der allgemeinen Mathematik also nicht unbedingt Vorbereitungen für tensoren)? |
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Wenn du möchtest, kann ich dir das Skript unserer Vorlesung "Mathematik für Physiker" reinstellen. Lass dich vom Namen nicht täuschen, manch ein Mathe-Student, der sich in unsere Vorlesung reingesetzt hat, fand das Niveau fast höher als das der echten Mathevorlesungen. In dem Skript ist alles schön aufbereitet, was man typischerweise als Physiker an (Pflicht)Mathe lernt, man kann es auch ohne Zusatzliteratur lesen. Ist nur natürlich keine leichte Kost und recht umfangreich. |
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Ja,, das wäre äußerst GUT!!! Bitte.. |
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Skript kommt per PM. |
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Was heißt PM? :-) |
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